不可撤销证明的自然例子是什么？

据我了解，证明P = NP或P≠NP的证明将是不可相对的（如在递归理论中一样）。

但是，几乎所有证据似乎都是可以相对论的。

有哪些非可相对性证明的好例子，例如P = NP / P≠NP证明，这些证明不是平凡的还是人为的？

（我不是递归理论家，所以请避免缺少引用。）

[编辑：更好的mathoverflow帖子]

— 赛
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为了复制我从MO提出的建议并摆脱它：我知道的规范示例是IP = PSPACE的证明，其中特别是通过显示特定PSPACE的交互式证明来完成PSPACE在IP中的包含-完整的问题，一种不可相对的技术-特定的问题不相对。

— Steven Stadnicki 2014年

@AndrejBauer AFAIK，不，因为没有“相对化的TQBF”之类的东西-实际上，有甲骨文

的

，因此证明不能规范地相对化。

A

$A$

{I P}^{A} \neq {P S P A C E}^{A}

$\mathrm{IP}^A\neq \mathrm{PSPACE}^A$

— Steven Stadnicki 2014年

@Steven：相对论的TBQF可以通过允许使用oracle门而不是（标准）逻辑门来形成。

@RickyDemer即便如此，证明的核心仍然是通过将公式解释为低次多项式来工作的，当您拥有（例如）统一随机的预言门时，该多项式就不会生效。

— Yonatan N 2014年

关于相对化的P =ΔNP结果被称为Baker-Gill-Solovay 1975定理。该证明也可以在例如Hopcroft / Ullman中找到。@ richerby / Sai在输入了两个问题之后没有理由迁移，更多信息供以后参考。还应注意，关于交叉发布似乎没有正式的stackexchange跨站点政策（因此可以理解有些混乱）。

— vzn 2014年

Answers:

如史蒂芬笔记时，典型的例子是。这种崩溃不相对化，在这个意义上，有一个预言，但以不违反。这种结果的已知证据避免了相对化障碍的直觉是，它使用算术化（Yonatan在评论中暗指了这一点）：针对的交互式协议 $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$ $A$ $\mathsf{IP}^A \ne \mathsf{PSPACE}^A$ $\mathsf{PSPACE}$ 通过考虑在适当的大域上将量化的布尔公式扩展为低次多项式来给出完全问题TQBF。如果给我们一个相对化的布尔公式（带有oracle gates），则这种扩展不存在。

$\mathsf{C} \subseteq \mathsf{D}$ $A$ $\tilde{A}$ $A$ $\mathsf{C}^A \subseteq \mathsf{D}^{\tilde{A}}$ $\mathsf{C} \not \subset \mathsf{D}$ $A$ $\tilde{A}$ $\mathsf{C}^{\tilde{A}} \not \subset \mathsf{D}^{A}$ 。Aaronson和Wigderson显示代数化，但是许多其他结果，包括却没有。 $\mathsf{IP} = \mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{NP} \not \subset \mathsf{P}$

一点不algebrize或相对化的技术的最近的例子是瑞恩Williams的证明该。分离不algebrize：有一个oracle和低度延伸，使得。直观上，证明避开障碍的原因是它依赖于的比平凡的满足性算法更快的存在。 $\mathsf{NEXP} \not \subset \mathsf{ACC}$ $A$ $\tilde{A}$ $\mathsf{NEXP}^{\tilde{A}} \subset \mathsf{ACC}^A$ $\mathsf{ACC}$ 电路，并且该算法使用了此类电路的非相对论和非代数性质。Ryan在论文中指出，当添加Oracle或oracle的代数扩展时，所有已知的快于平凡的可满足性算法都会崩溃。

还有一种有趣的方法可以通过逻辑来理解相对化。在旧的手稿中，Arora，Impagliazzo和Vazirani定义了一个公理系统，使得相对论结果恰好是遵循该公理的结果，而非相对论结果则独立于该系统。由A纸张Impagliazzo，Kabanets和Kolokolova确实通过引入额外的公理由阿罗拉，Impagliazzo和瓦齐拉尼中定义的用于algebrization类似的东西。他们表明，最公知的非相对论结果是根据其公理得出的，而P与NP等则与它们无关。

抱歉，如果我做错了什么，我不是专家。

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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在Aaronson-Wigderson论文中，还有其他关于非相对论证明的示例，例如，，等

NEXP \subseteq MIP

$\textrm{NEXP} \subseteq \textrm{MIP}$

{MA}_{EXP} ⊈ P / poly

$\textrm{MA}_\textrm{EXP} \nsubseteq \textrm{P}/\textrm{poly}$

PromiseMA ⊈ SIZE (n^{k})

$\textrm{PromiseMA} \nsubseteq \textrm{SIZE}(n^k)$

— 罗宾科塔

这是不可收回的证明清单：

PCP定理
依赖实例的承诺意味着零知识协议：
零知识与承诺之间的对等
通用电路没有有效的“虚拟黑匣子”电路混淆器：
零知识与承诺之间的对等
PSPACE可简化为评估的简洁产物：PSPACe克服了三位瓶颈 $S_5$
面对毫无争议的证明者，NEXP具有最少交互性的2证明者证明系统：
2证明者一轮证明系统：它们的功能和问题
针对可能被纠缠的证明者，NESP具有更具交互性的MIP协议：
针对NEXP声音的多重证明者交互式证明，可防止被纠缠的证明者
NP具有“有效可简化的非标准分布”隐藏位模型中具有完善知识提取的NISZK有效知识证明，以及（真实）隐藏位模型中具有有效知识的NIPZK知识证明。此外，如果允许采样器输出可能性很小（并且仅当采样器不输出时才需要保持健全性），那么前一句中的“ NISZK”可以替换为“ NIPZK” 。乔纳森·卡茨（Jonathan Katz），“密码学高级话题”，第13讲 $\perp$ $\perp$

注意：完善的知识提取方法是通过检查第2页上的健全性部分进行的。（非完美）知识提取与非完善的健全性相同，其原因与第5页的顶部所述相同。完善的零知识可以通过使模拟器使用哈密顿矩阵作为其置换，可以得到一些实际的位串，它们对应于值本身为0的偏置位，而它们大多位于不同的位置。在“更多”句子之后，使采样器输出 $C_i$ $\pi$ $\perp$ 如果无法在足够短的时间内从{0,1,2,3，...，n！-1}中完美地选择一个元素，因为这样的选择将允许a的完美统一生成有向循环图矩阵或顶点的排列。

— 卡韦
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这是一位领先专家对这一领域所做的很好的调查，总结/详细介绍了到目前为止其他答案的一些观点，并提供了其他示例。

[1] 相对化在复杂性理论中的作用 Fortnow

交互式证明领域中的一些最近的非相对论性结果已引起许多人重新审视相对性的重要性。在本文中，我们将研究复杂性理论家如何使用和滥用oracle结果。我们特别注意新的交互式证明系统和程序检查结果，并试图了解为什么它们不相对。我们给出了一些新结果，可以帮助我们更好地理解这些问题。

— z
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+1这是一个不错的调查，但应该指出的是，它调查了直到1993

— Sasho Nikolov 2014年

真正; 如果作者在论文中添加更多日期，将很有帮助。更新的调查也将很有帮助，该主题似乎很少受到调查。自该日期以来，该领域似乎并没有太大变化，也不清楚。

— vzn 2014年

对于新结果：我认为自那以后出现了一些新的预言结果，这些结果与量子复杂性类别有关。更重要的是，关于oracle结果的含义已经有了新的发展：我的答案中的代数化障碍和Ryan的非代数证明，相关论文cs.sfu.ca/~kabanets/papers/act-full.pdf以及可能波阿斯·巴拉克（Boaz Barak）致力于非黑盒加密的减少。

— Sasho Nikolov 2014年