防止等边均匀着色的子三角形的最小颜色量

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在Bundeswettberweb Infomatik 2010/2011中，存在一个有趣的问题：

对于固定，找到一个最小值和一个映射，这样就没有三元组其中。 $n$ $k$ $\varphi: \{(i,j)|i\leq j \leq n\}\rightarrow \{1,\ldots,k\}$ $(i,j),(i+l,j),(i+l,j+l)$ $\varphi(i,j)=\varphi(i+l,j)=\varphi(i+l,j+l)$

也就是说，我们正在寻找三角形的最小颜色，以使没有均匀着色的等边子三角形（下图显示了无效的着色，因为突出显示的顶点形成了这种均匀着色的等边子三角形）：

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$

实际上，他们要求较小，并且在解决方案中（用德语编写），他们指出，贪婪方法会产生种颜色的着色，可以通过将颜色随机化直到a 达到。找到有效的解决方案。 $k$ $n=1000$ $27$ $n=1000$ $15$

我对精确的解决方案感兴趣（对于较小的）。该解决方案表示，回溯产生的种颜色足以满足而足以满足，其中，对于，回溯已经非常慢。 $n$ $2$ $n\in\{2,3,4\}$ $3$ $5\leq n \leq 17$ $n=17$

首先，我尝试使用ILP公式和Gurobi在得到一些结果，但是它太慢了（已经对于）。然后，我使用了SAT求解器，因为我注意到有一个简单的公式表示为SAT实例。 $n>17$ $n=17$

通过这种方法，我能够在分钟内生成种颜色的解决方案： $3$ $n=18$ $10$

$\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 18种节点的3种颜色的解决方案

但是要确定种颜色是否足以满足这已经太慢了。是否有一些不同的方法可以给出精确解？当然我们不能期望多项式算法。 $3$ $n=19$ $n \geq 19$

graph-theory sat combinatorics

— 清单
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有趣的问题。为什么说我们不能期望多项式时间算法？

— Sasho Nikolov 2014年

@SashoNikolov只是一个假设，因为这似乎比找到有效的顶点着色要困难（就更多约束而言更难），并且顶点着色已经是一个非常困难的问题。

— 上市

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只是一个扩展评论：

您可以看一下Steinbach和Posthoff所使用的方法来查找没有单色矩形的18x18（和12x21）网格的4色：

Bernd Steinbach和Christian Posthoff，最后开放的四色无矩形网格的解，这是一个极其复杂的多值问题。在2013 IEEE第43届国际多值逻辑研讨会（ISMVL '13）的议事录中

正如Gasarch等人所证明的。给定任意矩形的部分着色，确定着色是否可以扩展到没有单色矩形的整个矩形是NP完全的：Daniel Apon，William Gasarch，Kevin Lawler，NP完全问题在网格着色中。因此，即使对于等边三角形，也很有可能问题是NP完全的。 $c$ $n \times m$

附带说明：我花了数周的CPU周期处理单色无矩形的4色问题，但我从错误的部分结果（先前的错误分析限制了可能的1色子配置的数量）开始所述STP约束解算器 ; 如果您添加打破对称性的约束（例如，对三角形的一侧进行着色的顺序），并尝试仅使用1色对可能的配置进行分析，则可以实现巨大的改进。

编辑：这是STP程序的结果，n = 19（〜1分钟）。

在此处输入图片说明

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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谢谢的解决方案。在此期间，我自己进行了尝试，并编写了一个小STP程序（pastebin.com/efzHu5md）。不幸的是，它实际上并不比直接SAT方法更快，因此我认为选择不等式的可能性可能比我更好。

n = 19

$n=19$

— 上市

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使用基于SAT的方法，我可以确认每个实例都是3色的，直到。本地搜索求解器在现代桌面上仍能很快找到的解决方案。我在尝试了相同的方法，但是在大约96小时内没有解决方案。因此，它是诱人的猜想是不 3-着色了。（我还要指出，在立即发现了4色）。 $n \leq 22$ $n=22$ $n=23$ $n=23$ $n=23$

我对观察与您的观察相似，也就是说，如果使用直接编码，对于完整的求解器来说似乎已经远远超出了。另一方面，如果更智能的编码能够解决（甚至更大）的情况，我不会感到惊讶。 $n=19$ $n=23$

下面是的解决方案。 $n=22$

非常感谢Marzio生成图像，并让我知道了这个问题！:-)

— Juho
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