“排列p是我集合中图的自同构吗？” NP完整吗？

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假设我们有一组图S（有限的图，但是有无限的图）和作用于S的一组排列P。

实例：P中的置换p。

问题：S中是否存在允许自同构p的图g？

对于某些集合S，这个问题NP是否完整？

检查图形是否允许排列p（即证书）将很容易。此外，很容易找到问题不是NP完全的S的示例，例如S是一组完整的图，那么答案总是是肯定的。

注意：我对它们是什么类型并不十分感兴趣；如果您喜欢，它们可以是非简单的，有针对性的，有颜色的等。

附录：我当前正在研究的问题是对哪些同构是拉丁方的自构进行分类（也可以解释为图自同构的一种特殊类型）。

给定拉丁方L（i，j），我们可以通过以下方式构造图：

顶点集是矩阵中的单元格（i，j）的集合，
每当i = i'或j = j'或L（i，j）= L（i'，j'）时，在不同的（i，j）和（i'，j'）之间存在一条边。

这样的图被称为拉丁方图（例如参见Bailey和Cameron的这篇文章，网址为http://designtheory.org/library/encyc/topics/lsee.pdf）。我们可以将拉丁方的自同构性解释为拉丁方图的同构性。因此，令S为由n阶拉丁方形成的拉丁方图的集合。所以我感兴趣的问题是：

给定一个置换p，p是S中一个（或多个）图的自同构吗？

我的感觉是，总体上来说这是一个很难回答的问题-我目前正在撰写有关此事的30多页论文（有2位合著者）。实际上，大多数情况下这很容易（大多数情况下为“否”），但是有一些困难的情况。

因此，我有兴趣寻找与“对称分类”有关的决策问题。它们实际上并不需要与拉丁方有关，我只是希望使用这些技术来回答拉丁方的问题。

cc.complexity-theory graph-theory np-hardness automorphism

— 道格拉斯·S·斯通
source

我不确定我是否正确理解问题。您能举一个S和P的例子（以及P对S的作用）吗？一个使问题变得平凡的示例（不是“全是”还是“全无”）将有助于理解该问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

2

在完整图的示例中，我不了解的是，对k个点的排列如何作用于对n个点的完整图，其中k≠n（尤其是k> n时）。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

我自欺欺人以为自己理解了问题，但现在我决定不这样做。排列组S是否作用于族P中的图，或仅可能作用于族P中的图？

— Niel de Beaudrap 2010年

1

这里的一个问题是，我们需要选择一个成员资格测试在NP中的集合

S

$S$

— 艾米尔（Emil）2010年

1

我在答案中添加了更多背景信息。实际上，总的来说，只要我们能回答“这个排列是该图的自同构吗？”，我实际上并不在乎该组是否作用于S。就拉丁方而言，我们可以将其解释为群体行为。

— Douglas S. Stones

Answers:

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$L$ $S$

$x \in L$ $|x| = n$ $G_x = (V_x,E_x)$ $S$ $V_x = \{1,2,...,3n\}$ $i$ $x$ $0$ $3i-2$ $3i-1$ $3i-2$ $3i$

$p$ $\{1,2,...,3n\}$ $p$ $S$ $p$ $G_y$ $y \in L$ $i \in \{1,2,...,n\}$

$p(3i-2) = 3i-1$ $p(3i-1) = 3i-2$ $p(3i) = 3i$ $i$ $y$ $0$
$p(3i-2) = 3i$ $p(3i-1) = 3i-1$ $p(3i) = 3i-2$ $i$ $y$ $1$

$p$ $G \in S$ $y$ $L$ $|p|$ $|y|$

$L$

— Jukka Suomela
source

L

$L$

S

$S$

G_{y} \in S

$G_y \in S$

p

$p$

G_{y}

$G_y$

y \in L

$y \in L$

5

S

$S$

S

$S$

L

$L$

1

G_{x}

$G_x$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

x

$x$

a

$a$

y \in L

$y \in L$

p

$p$

2 i + a + 1

$2i+a+1$

i

$i$

y

$y$

a

$a$

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

n

$n$

p \in S_{n}

$p \in S_n$

n

$n$

L

$L$

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