在非加权图上很容易解决的问题，在加权图上很难解决

无论是未加权图还是加权图，许多算法图问题都可以在多项式时间内解决。一些示例包括最短路径，最小生成树，最长路径（在有向无环图中），最大流，最小割，最大匹配，最佳树状化，某些最密集的子图问题，最大不相交的有向割，某些图类中的最大集团，最大独立在某些图类中设置，各种最大不相交路径问题等。

有，但是，这是在多项式时间解决一些（虽然可能显著更少）的问题不加权的情况下，反而变得很难（或者打开状态）的加权情况。这是两个示例：

1. 鉴于$n$ -点完全图，和一个整数$k\geq 1$，找到一个跨越$k$ -连通子与边缘的最小可能数。这可以使用F. Harary定理在多项式时间内求解，该定理说明了最佳图的结构。另一方面，如果对边缘进行加权，则找到连接的最小权重$k$跨度子图为$NP$ -hard。

2. S. Chechik，MP Johnson，M.Parter和D.Peleg（请参阅http://arxiv.org/pdf/1212.6176v1.pdf）最近（2012年12月）的论文 考虑了路径问题。调用最小暴露路径。在这里，我们要寻找两个指定节点之间的路径，这样路径上的节点数加上路径上具有邻居的节点数是最小的。他们证明，在有限度的图表这可以在多项式时间内解决了未加权的情况下，却变成难的在加权情况下，即使有度的约束4（注：参照被发现为这个问题的答案是什么路径问题的复杂性？）$NP$

具有这种性质的其他一些有趣的问题是什么，也就是说，切换到加权版本会导致“复杂性跳跃”？

在逼近算法的世界中，存在电容顶点覆盖问题。鉴于和整数能力Ç （v ）对于每个v ∈ V的目标是找到最小尺寸的顶点盖ģ其中所涵盖的边缘的数量v为至多Ç （v ）。该问题在未加权的情况下具有恒定的因子近似值（也就是说，我们希望最小化顶点覆盖的大小），而当问题为Ω （log n ）-困难时（除非$G=(V,E)$$c(v)$$v \in V$$G$$v$$c(v)$$\Omega(\log n)$）（在加权情况下）（每个顶点的权重为 w （v ），我们希望最小化封面的权重）。$P = NP$$w(v)$

我最喜欢的例子是独立控制问题（给定图和整数k，G是否具有包含最多k个顶点的包含最大独立集？）。由于马丁·法伯（Martin Farber ）的出色表现（请参见此处），未加权版本在弦图中可多项式求解。Gerard Chang证明了弦图的加权版本是NP完整的（请参阅此处）。$G$$k$$G$$k$

二部图的完美匹配问题在而二部图的精确权重完美匹配是N P-完全。$P$$NP$

遵循Mohammad Al-Turkistany的回答，如果我们问是否存在一个权重正定的解决方案，似乎许多多项式时间可解的非加权问题在加权情况下可以变成完全。原因是这可以将子集和问题编码为考虑的任务。$NP$

例如，在精确权重完美匹配的情况下，我们可以将完整的二分图作为输入，将给定的权重分配给特定匹配的边，将0权重分配给所有其他边。这是很容易看到，这加权图有重量的完美匹配正好当且仅当存在权重的一个子集，资金恰好到w ^。（如果有这样的子集，那么我们可以从固定匹配中获取相应的边，并将其扩展为具有0权重边的完美匹配，并使用它是完整的二部图。）我认为，这是一个简单的技巧也可能会解决许多其他问题。$W$$W$

图平衡（也称为最小向外度）是此现象的另一个示例。在这个问题上，我们得到了一个无向边加权图。目标是确定边缘的方向，以使所得到的有向图（加权的）最大出度最小。

该问题通常是由调度方案引起的。想象每个顶点都是一个处理器，每个边缘都是一个作业，该作业只能在其两个端点之一上运行。边缘的重量是相应作业的长度，目标是最大程度地缩短工期。

即使所有权重都是1或2，问题也是NP-hard和APX-hard（请参阅SODA 2008中的Ebenlendr等人，“图平衡：调度无关并行机的特殊情况”）。但是，对于未加权图，它在P中（请参见Asahiro等人，在CATS 2008中，“图类和图取向的复杂性使最大加权输出度最小化”）。

也许这只是一个简单的例子，您可能认为它是一个简陋的案例，但我想到的第一个例子是“ 旅行推销员问题”（通常假定该图是完整的）。请注意，未加权的版本是哈密顿循环，对于完整图形而言这是微不足道的。

在延迟约束下找到最小成本路径（又称约束最短路径问题）似乎很合适。

$G=(V,E)$$d:V\to\mathbb {N}^+$$c:\to\mathbb {N}^+$$D\in \mathbb {N}^+$$s,t\in V$

$s-t$$D$

$\forall v\in V:d(v) =1$$hop-count$

如果对问题进行加权，则它将成为“ 约束最短路径”，即使在DAG上也已知是NP完全的。

FLIP邻域的局部最大割问题在一般的整数加权图中是PLS完全的。

AA Schaeffer和M. Yannakakis。（1991）。简单的本地搜索问题，很难解决。SIAM计算杂志，20（1）：56-87。

但是，如果最大权重是图形大小的多项式，则势能（切分权重）的局部改进将在多项式时间内收敛，因为每次改进都会使势函数至少增加一个，并且势函数是多项式有界的。（使用一般权重，找到可以从特定开始切入点进行局部改进而得出的解决方案就是PSPACE-complete。）

在其他“潜在游戏”中也发生类似的情况。

旅行商在出售的网格图上是开放的，但是已知汉密尔顿循环（未加权变体）是多项式。

关于开放式问题项目的讨论：

http://cs.smith.edu/~orourke/TOPP/P54.html

在无2K_1的情况下，最大割为多项式，而加权最大割为NP完全。