没有层次定理的复杂性类分离

层次定理是基本工具。在一个较早的问题中收集了很多此类信息（请参阅了解哪些层次结构和/或层次结构定理？）。某些复杂性类的分离直接来自层次定理。这种众所周知的分离的示例： $L\neq PSPACE$ ， $P\neq EXP$ ， $NP\neq NEXP$ ， $PSPACE\neq EXPSPACE$ 。

但是，并非每个分离都遵循层次定理。一个非常简单的例子是。即使我们不知道它们中的任何一个是否包含另一个，因为对于多项式变换是封闭的，而不是，所以它们仍然是不同的。 $NP\neq E$ $NP$ $E$

对于不直接从某个层次定理得出的统一类，哪些是更深层，无条件，非相对复杂性的类分离？

cc.complexity-theory complexity-classes hierarchy-theorems

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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我认为将

称为分离有点不寻常。同样，他们的不平等是出于琐碎的原因，并没有告诉我们任何有趣的事情。AFAIK对于大型复杂性类，所有有趣的复杂性类分离都在某个时候依赖于层次定理（以及对角线化）。

N P \neq E

$NP\neq E$

— 卡夫2014年

的确，将

称为分隔确实是很不寻常的，因为它有一些琐碎的原因。我只是提出了一个简单的示例，其中不需要层次定理。

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago 2014年

嗯，NP！= E的证明确实取决于层次定理！它的工作方式是先假设NP = E，然后使用NP的闭包属性推论出E = EXP，从而违反了时间层次定理。

— Scott Aaronson

谢谢你，斯科特，你完全正确。

不是正确的例子。我在答案中发布了更好的答案。

N P \neq E

$NP\neq E$

— Andras Farago 2014年

因此，即使这种不平等依靠角化：

，但

。尼斯，毕竟不是那么琐碎。

E \subseteq N P \subseteq A C^{0} \circ N P \subseteq A C^{0} \circ E \subseteq E X P

$E \subseteq NP \subseteq AC^0\circ NP \subseteq AC^0 \circ E \subseteq EXP$

E ⊊ E X P

$E \subsetneq EXP$

— 卡夫2014年

Answers:

我很乐意被证明是错误的，但是我不认为当前没有任何统一的下界不是最终基于层次定理之一。从这个意义上说，我们目前对如何利用均匀性的理解确实非常有限。

另一方面，有许多统一的下界不是直接从层次定理中得出，而是将层次定理与其他巧妙的技巧，技术和结果结合使用，例如：

[Hopcroft保-勇士]。他们证明（其证明的非对角化的部分），然后使用以下事实： $\mathsf{CSL} \not\subseteq \mathsf{DTIME}(n)$ $\mathsf{DTIME}(n) \subseteq \mathsf{DSPACE}(n/\log n)$ $\mathsf{CSL} = \mathsf{NSPACE}(n)$ 结合空间层次。其结果+的空间层次结构也意味着。 $\mathsf{DSPACE}(n) \nsubseteq \mathsf{DTIME}(n)$
时空权衡取舍（例如，参见Buss-Williams的介绍及其中的参考文献）
[Paul-Pippinger-Szemeredi-Trotter]。通过确定性时间层次结构，结合使用更快的四交替机对任何确定性超线性时间机器的非平凡仿真。 $\mathsf{DTIME}(n) \neq \mathsf{NTIME}(n)$
永久性下界的统一下界[ Allender，Allender-Gore，Koiran-Perifel ]
[威廉姆斯]（虽然在技术上这是不均匀的下界，它采用了一束巧妙的构思结合非确定性的时间层次结构） $\mathsf{NEXP} \not\subseteq \mathsf{ACC}^0$

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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在分离由缓闭式东西，你一直在寻找的？ $\mathsf{AC}^0\subsetneq\mathsf{TC}^0$

— 阿恩
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谢谢你，这是一个不错的结果，但是我正在寻找的分离

类，而不是电路类。

u n i f o r m

$uniform$

— Andras Farago 2014年

@AndresFarago：统一TC ^ 0中也正确包含了统一AC ^ 0。

— EmilJeřábek在2014年

@EmilJeřábek：是否有证据表明制服

适当地包含在制服

，并且还不能证明不一致的陈述？（如果没有，那么您的示例似乎遵循的一般原则是，非均匀下限比统一下界更强，并且我认为OQ试图避免此类答案...）

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

— Joshua Grochow 2014年

我认为证明的不一致性是基于以下事实，即这些是相当小的类，在这些类中我们对它们有很好的组合/代数理解。也就是说，我们对它们的理解足够好，可以直接构造不在其中的对象。对于较大的类，哪里没有这样的理解，因此我们知道的唯一方法是对整个类进行对角化以构造此类对象。

— 卡夫2014年

另一个不平凡的例子来自平均案件复杂性领域。Rainer Schuler证明了他称为的一类有趣的性质，请参见[1]。 $P_{P-comp}$

是类的语言被接受在多项式时间上 -平均为每多项式时间可计算（P-可计算）分布。当然，成立，因为确定性polytime算法的存在意味着，它仍然在平均有效，无论输入分布是什么。然而，在平均多项式时间内运行的条件每个P-可计算的投入分配似乎强大到足以嫌疑 $P_{P-comp}$ $\mu$ $\mu$ $P\subseteq P_{P-comp}$ $P_{P-comp}=P$

$L\in P_{P-comp}$ $E$

Ë \subseteq P^{P_{P - C Ø 米 p}} （ * ）

$E\subseteq P^{P_{P-comp}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$ 这意味着无条件的分离

P_{P - c o m p} \neq P

$P_{P-comp}\neq P$ 。虽然后者也使用了事实

E \neq P

$E\neq P$ （根据时间层次定理得出），新颖的部分（*）建立在不同的工具上：除了对角化之外，它还采用了资源有界度量和Kolmogorov复杂度。

参考：

[1] R. Schuler，“平均多项式时间的真值表关闭和图灵关闭在EXP中具有不同的度量”，CCC 1996，pdf

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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