多数功能的电路复杂度

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让是大多数功能，即当且仅当。我想知道是否存在以下事实的简单证明（通过“简单”，我的意思是不依赖于Valiant 84这样的概率方法或排序网络；最好不提供电路的明确，直接的构造）： $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f(x) = 1$ $\sum_{i = 1}^n x_i > n/2$

可以通过深度为，poly（n）大小的一系列电路来计算，其中门由非门，2输入或门和2输入与门组成。 $f$ $O(\log(n))$

— 马通
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这可能很有趣： Igor Sergeev，多数函数公式大小的上限；他还在这里宣布了更好的上限。但是，如果只询问电路（不是公式），那么正如Igor提醒我的那样，每个对称布尔函数（不仅是多数）都具有深度为

和大小为

：只需计算

s，并实现

变量的布尔函数。对于大多数人来说，后一个函数是与

的比较

O (\log n)

$O(\log n)$

O (n)

$O(n)$

1

$1$

\log_{2} n

$\log_2n$

。

n / 2

$n/2$

— Stasys 2014年

@Stasys，计算位数实际上就是对位进行排序。

— 卡夫2014年

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Kaveh的答案为您陈述的问题提供了答案（这是显示包含在的通常证明）。但是我在想，您实际上可能打算问一个稍微不同的问题。即对于显式多项式大小单调公式占多数。 $\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{NC}^1$

由于多数是单调的，我们知道可以通过单调的公式进行计算。有两个已知的构造多项式大小单调公式，即您提到的两个，Valiant的概率构造和通过排序网络构造。据我所知，我们没有比排序网络提供的简单的确定性构造。

与之相关的还有以下内容。事实证明，多数可以由仅包含门（而没有常数！）的公式计算。可以将Valiant的概率构造修改为深度的公式。但是，这里我们没有确定性的构造。特别地，分类网络不适用于此（技术原因：它们将提供所有阈值函数，并且只能由门计算多数函数）。但是，本文中针对此问题的最新进展 $\mathsf{MAJ}_3$ $O(\log(n))$ $\mathsf{MAJ}_3$ Cohen等人通过对数深度阈值公式得出的有效多方协议。这里，这些公式是基于标准复杂性理论或密码学假设的构造。

— 克里斯托弗·阿恩斯费尔特·汉森
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计算的限制阈值栅极（）基本上排序输入比特。 $\sum_i x_i \geq k$

如果您可以对这些位进行排序，则可以轻松地将结果与比较并计算受限阈值。 $k$

另一方面，假设我们有一个电路来计算受限阈值。我们可以进行并行搜索以找到输入中的个数并输出排序后的列表。

$\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$ $\mathsf{NC^1}$ $O(\lg n)$

注意，通过将新的1和0输入添加到多数门，很容易使用多数来实现受限阈值。

$\mathsf{AC^0}$ $\mathsf{AC^1}$ $\mathsf{NC^2}$

$O(\lg n)$

$a,b,c$ $x,y$ $a+b+c = x+y$

$O(1)$

请参阅第4节和练习4

David Mix Barrington和Alexis Maciel，“ 计算复杂性高级课程 ”，第6讲，IAS / PCMI，2000年。

— 卡韦
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O (\lg n)

$O(\lg n)$

O (\lg n)

$O(\lg n)$

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$n$

Brodal和Husfeldt给出了另一种证明：对称函数具有对数深度的通信复杂性证明。同样，证明是基本的，并提供了明确的解释。

— 亚历山大·库里科夫（Alexander S.Kulikov）
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