是否有超过可满足性阈值的

-SAT实例的一个众所周知的特征是从句数与变量的比值，即商。对于每个，对于都有一个阈值 st \ ，大多数情况是可以满足的，而对于大多数情况是无法满足的。对于的问题，以及对于ρ，k足够小的问题，已经进行了大量研究。米Ñ ρ = 米/ Ñ ķ α ρ « α ρ » α ρ « $k$$m$$n$$\rho = m/n$$k$$\alpha$$\rho \ll \alpha$$\rho \gg \alpha$$\rho \ll \alpha$$\rho$$k$-SAT在多项式时间内可解。例如，参见《满意度手册》（PDF）中Dimitris Achlioptas的调查文章。

如果任何工作在另一个方向（其中已经完成我想知道$\rho \gg \alpha$），例如，如果我们能以某种方式从CNF改造问题DNF在这种情况下迅速解决它。

因此，从本质上讲，什么是关于SAT如果知道$\rho = m/n \gg \alpha$？

是的，已经有。Moshe Vardi最近在BIRS应用SAT解决理论基础研讨会上进行了调查演讲：

• Moshe Vardi，《相变和计算复杂度》，2014年。

（在上面的链接中，Moshe在14:30分钟后展示了他们的实验图）。

令表示从句比率。随着ρ的值增加到阈值以上，现有的SAT求解器将变得更容易解决此问题，但并不像达到阈值之前那样容易。当我们从下面接近阈值时，难度急剧增加。在阈值之后，与阈值相比，问题变得更加容易，但是难度的降低幅度不大。$\rho$$\rho$

让表示问题WRT到难度Ñ （在他们的实验中Ť ρ（Ñ ）是中值磨合时间GRASP上与子句比率随机3SAT实例ρ）。摩西表明Ť ρ（Ñ ）改变如下：$T_\rho(n)$$n$$T_\rho(n)$$\rho$$T_\rho(n)$

• 阈值： Ť ρ（Ñ ）是多项式 Ñ，$\rho \ll$$T_\rho(n)$$n$
• 是接近阈值： Ť ρ（Ñ ）是在指数 Ñ，$\rho$$T_\rho(n)$$n$
• 阈值： Ť ρ（Ñ ）保持在指数 Ñ但指数为减小 ρ增加。$\rho \gg$$T_\rho(n)$$n$$\rho$

对于子句/变量比大于可满足性阈值的公式，至少有两项研究涉及随机：$k\text-\mathsf{SAT}$

• 对于这样的公式，从Chvátal和Szemerédi 的论文“ 许多坚决的例子来说明 ” 开始，已经显示出解决方案中反驳长度的下限和更强大的命题证明系统。这些分辨率下限意味着基于DPLL和CDCL的SAT求解器的运行时下限。由于Ben-Sasson和Impagliazzo，最强下界是多项式微积分。
• 对于此类公式，有有效的确定性算法可用于证明不满足要求，即输出“ UNSAT”或“不知道”的算法，其中要求答案“ UNSAT”是正确的，并且必须在输出时输出“ UNSAT”不满意的公式很有可能出现。那个方向上最强劲的结果归功于Feige和Ofek。

这是一位资深专家进行的较古老但相关的研究/角度。

• 约束刀锋沃尔什1998

他展示了参数估计解决方案的数量，并度量“约束”，并与子句与变量的比率大致相关/趋势。尤其参见p3图4$\kappa$

在图4中，我们针对随机3-SAT问题绘制了启发式分支下的估计约束。当L / N <4.3时，问题将受到限制且可解决。随着搜索的进行，随着问题变得更加受约束且显然可以解决，减小。当L / N> 4.3时，问题会过度约束且无法解决。随着搜索的进行，随着问题变得更加过分约束并且显然无法解决，κ也随之增加。$\kappa$$\kappa$

问题询问。但这从经验分析中得知是高度过度约束的，因此基本上接近P时间实例（求解器“迅速”发现它们是不可求解的），因此在理论上不那么有趣（因为它们没有“引出/执行”指数时间） -求解器的平均行为）。但是，还没有亲身见过从理论上或更严格地证明这一点的论文/变换/理论（除了本文作为起点）。$m/n \gg\alpha$