坎南定理是否暗示NEXPTIME ^ NP⊄P / poly？

我正在阅读Buhrman和Homer的论文“超多项式电路，几乎稀疏的Oracle和指数体系”。

在第2页的底部，他们指出Kannan的结果暗示没有多项式大小的电路。我知道在指数时间层次中，只是，而且我也知道Kannan的结果是使得。当然，坎南定理不是在说（要是这种情况，我们需要证明使得，。但是，我不明白Kannan的结果如何暗示 $NEXPTIME^{NP}$ $NEXPTIME^{NP}$ $\Sigma_2EXP$ $\forall c\mbox{ }\exists L\in\Sigma_2P$ $L \not\in Size(n^c)$ $\Sigma_2P \not\subset P/poly$ $\exists L\in\Sigma_2P$ $\forall c$ $L \not\in Size(n^c)$ $NEXPTIME^{NP} \not\subset P/poly$ 吗？

— 吉勒斯“别再邪恶了”
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也许这对于cstheory.se更合适。

— Yuval Filmus 2014年

@YuvalFilmus好的，谢谢。如果主持人认为cstheory.se更合适，请随时进行移动。

目前，这也是cs354问题集上的问题：：-/ ...我明确指示学生不要上网，因此“洛林”更好地希望他们不要上我的课。

— Ryan Williams

@Sasho，我认为这样做最好，至少要等到作业的截止日期之后才能这样做。

— 卡夫（Kaveh）2014年

@Turbo我想我也应该如此，希望这目前不在别人的问题上。

— Sasho Nikolov

此版本的答案包含了EmilJeřábek的反馈。

据我所知，主要的扭曲是具有指数电路复杂性的语言。特别是，修复布尔电路的二进制编码并将定义为 $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L$

$L_n$ 不由任何大小为电路决定，并且 $2^{n/2}$

在字典上位于前面的任何语言由大小最大为的某个电路决定， $L'_n \subseteq \{0,1\}^n$ $L_n$ $C$ $2^{n/2}$

其中符号表示切片。 $L_n$ $L_n = L \cap \{0,1\}^n$

要使用 oracle 在指数时间内完成此操作，可以对子集（将它们视为位整数）使用二进制搜索来查找第一个这样的集合，其电路复杂度。您只需保留当前对猜测，并使用oracle来测试是否存在电路复杂度至少为的。由于这会用中的机器记录整个切片，因此显然我们也可以决定成员，因此也可以决定。 $\Sigma_2^\mathsf{P}$ $\{0,1\}^n$ $2^n$ $> 2^{n/2}$ $L_n$ $L'_n \prec_{\text{lex}} L_n$ $2^{n/2}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2}$ $L_n$ $L_n$ $L$

这与Kannan的论点非常相似，但可以进行放大和精简以使用指数时间。然后，您应该能够使用Karp-Lipton定理的放大版本，以证明如果，则，您可以在Kannan的证明中进行案例分析。 $\mathsf{NEXP} \subseteq \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{EXP}^{\Sigma^\mathsf{P}_2} \subseteq \mathsf{NEXP}^{\mathsf{NP}}$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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根据您的描述，直接给出语言，而不是。

{E X P}^{Σ_{2}^{P}}

$\mathrm{EXP}^{\Sigma^P_2}$

{N E X P}^{Σ_{3}^{P}}

$\mathrm{NEXP}^{\Sigma^P_3}$

— EmilJeřábek'17

@EmilJeřábek我的大脑永远无法处理Oracle机器。我量化深度四：在如果存在大小为的电路，使得且[对于所有电路大小的存在一个字为其中 ]和[对所有其中上一页对于所有以lex顺序排列的电路的大小最大为 st

w \in {0, 1}^{n}

$w \in \{0,1\}^n$

L

$L$

C^{*}

$C^*$

\leq 2^{n}

$\le 2^n$

C^{*} (w) = 1

$C^*(w) = 1$

C

$C$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C (w^{'}) \neq C (w)

$C(w') \neq C(w)$

C^{'}

$C'$

C^{*}

$C^*$

C^{″}

$C''$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

w^{'} \in {0, 1}^{n}

$w' \in \{0,1\}^n$

C^{'} (w^{'}) = C^{″} (w^{'})

$C'(w') = C''(w')$ ]。这似乎是指数层次结构的第四层。oracle表示法是什么？

— Sasho Nikolov

首先，“存在一个单词...”，并且接近尾部的相似通用量词不算在内，因为它们是线性大小，因此可以在指数时间内确定性地计算它们。其次，可以使用二进制搜索在指数时间内确定性地模拟最外面的量词。

— EmilJeřábek'17

即，字典序第一布尔函数上输入不具有尺寸的电路可通过与Oracle谓词的指数时间的二进制搜索中找到“存在一个函数字典顺序前述不能由大小为 “ 的电路计算。

f

$f$

n

$n$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

f^{'}

$f'$

f

$f$

2^{n / 2}

$2^{n/2}$

— EmilJeřábek'17

@SashoNikolov因此，自它仍然有效。但是，如果无法在应用Karp-Lipton，则无法使用。因此，我们有和。这不适用于。

E X P^{Σ_{2}^{P}} \subseteq N E X P^{Σ_{3}^{P}}

$EXP^{\Sigma_2^P}\subseteq NEXP^{\Sigma_3^P}$

N E X P \subseteq i . o . P / p o l y

$NEXP\subseteq i.o.P/poly$

E X P^{P P} ⊈ i . o . P / p o l y

$EXP^{PP}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{Σ_{3}^{P}} ⊈ i . o . P / p o l y

$NEXP^{\Sigma_3^P}\not\subseteq i.o.P/poly$

N E X P^{N P}

$NEXP^{NP}$

— T ....