关于/反对P的电路复杂度的Kolmogorov猜想的争论

根据（未经验证的）历史记录，Kolmogorov认为中的每种语言都具有线性电路复杂性。（请参见前面的问题Kolmogorov的猜想，即具有线性大小的电路。）请注意，这意味着。 $\mathsf{P}$ $P$ $\mathsf{P}\neq \mathsf{NP}$

然而，人们认为柯尔莫哥洛夫的猜想可能会失败。例如，赖安·威廉姆斯（Ryan Williams）在最近的一篇论文中写道： “这个猜想如果是真的，将是令人惊讶的。对于语言，需要时间，这种问题的复杂性似乎不太可能会神奇地缩小到大小，只是因为可以为每个输入长度设计不同的电路。” $\mathsf{P}$ $n^{100^{100}}$ $O(n)$

另一方面，安德烈·科莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov，1903-1987年）被公认为20世纪最主要的数学家之一。很难想象他会提出一个完全荒谬的猜想。因此，为了更好地理解它，我试图找到一些可能实际上支持他令人惊讶的猜测的论点。这是我能想到的：

假设。然后我们可以选择一种语言，使得在均匀模型和非均匀模型中都具有超线性复杂度。然后有两种可能性： $\mathsf{P}\not\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ $L\in \mathsf{P}$ $L$

有一个已知的接受显式算法（Turing machine）。据此，我们可以构造一个必须具有超线性电路复杂性的显式函数族。但是，这可能被认为是不太可能的，因为在60多年来对电路的深入研究中，没有人能找到这样的例子。 $L$
没有已知的显式算法。例如，它的存在是通过非建设性手段，例如“选择公理”来证明的。或者，即使存在显式算法，也没有人能够找到它。但是，假设存在无限多种语言可以扮演的角色，那么它们也不大可能都以这种不友好的方式表现。 $L$ $L$

但是，如果我们认为这两种选择都不大可能，唯一剩下的可能性就是这样的 $L$ 不存在。这意味着 $\mathsf{P}\subseteq \mathsf{SIZE}(lin)$ ，恰恰是Kolmogorov的猜想。

问题：您能想到关于/反对科尔莫哥罗夫猜想的其他论点吗？

cc.complexity-theory circuit-complexity ho.history-overview

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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我想知道：我们是否有候选人反驳科尔摩哥罗夫的猜想？当然，可以考虑可证明具有超线性复杂性的任何问题。也许其中一些更可能没有线性电路？

— 布鲁诺2014年

面对现实吧，没有人有丝毫线索。（关于好莱坞的高盛名言：“没人知道。”）（未公开的）猜想可能公开的时间甚至超过了P =？NP。但是，一个粗略的想法/角度值得探索：压缩理论和可压缩性。这基本上就是威廉姆斯所暗示的，并且可能是许多复杂性类分离的核心。这个想法是，有一些基本的方法/算法可以对数据进行编码，并且某些模式本质上很难使用（任何任意的）编码进行压缩。但在这方面似乎也很少有结果。

— vzn

顺便说一句，例如由Fortnow探索的Kolmogorov复杂度与计算复杂度的许多联系可能与为什么问题如此难以解决有一定的解释性联系，因为与Kolmogorov复杂度有关的问题还不确定……？

— vzn 2014年

@Bruno：我猜想问题会很好，例如线性编程或电路值问题。如果那么即使在多边形大小和对数深度上也无法均匀地解决这些问题，因此至少可以合理地猜测这样的问题线性尺寸均可解决（深度不受限制）。行列式可能是另一个合理的候选者。但这些都只是建议-我没有强烈的思想，他们有超线性电路尺寸的原因。

P

$\mathsf{P}$

P ⊈ N C

$\mathsf{P} \not\subseteq \mathsf{NC}$

— 2014年

Answers:

您引用的我的论文脚注也提到了一种启发式的“论点”，至少，我们认为这是柯尔莫哥洛夫的直觉-希尔伯特第十三个问题的积极解决。

http://en.wikipedia.org/wiki/希尔伯特的问题

特别是，由Kolmogorov和Arnold证明，变量上的任何连续函数都可以表示为 “简单”函数的组合：两个变量的加法，以及一个变量上的连续函数。因此，在一变量连续函数和二变量加法的“基础”上，变量上的每个连续函数都具有“电路复杂度”。 $n$ $O(n^2)$ $n$ $O(n^2)$

似乎Kolmogorov相信有一个离散的类似物，其中“在变量中连续”变成“在变量中布尔并且可对poly时间计算”，而上面给出的“基础”变成了两个变量的布尔函数。 $n$ $n$ $(n)$

— 瑞安·威廉姆斯（Ryan Williams）
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如果Kolmogorov相信的离散类似物确实存在，那将是非常有趣的。据推测，研究人员试图找到它，因为它可能导致的证明。他们遇到的主要障碍是什么？

P \neq N P

$P\neq NP$

— Andras Farago 2014年

障碍？我认为没有人找到这条路：)由于大多数人都认为没有大小的电路，所以对于每个固定的，可能几乎没有人寻找这条路。

P

$P$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

— 瑞安·威廉姆斯

Stasys对上一个问题的答案提供了一些潜在的直觉，可能是有利的：https：//cstheory.stackexchange.com/a/22048/8243。据我了解，我将尝试在此处重述。关键的直觉是将电路视为一种算法，而不是一种算法，而是一种集合（它接受的集合）的编码。我们可以通过算法运行时间（即将time- TM转换为size-电路）来获得编码大小的上限，但是尚不清楚应该存在什么逆关系。如果一种语言是，那么这可能意味着成员资格是“本地的”，足以被非常简洁地编码。 $t$ $t$ $\mathsf{P}$

也就是说，中的成员资格是关于算法运行时间的陈述，而线性电路是（也许）是关于固定长度字集的编码大小的陈述。两者都是关于语言简单性的陈述，但它们可能生活在截然不同的世界中。 $\mathsf{P}$

Stasys提到的另一种直觉来自某种语言的“指示符字符串”，让我们形式化为无限字符串，如果第个词典字符串在该语言中，则位为，否则为。语言的（多时制）TM是字符串的（快速）预言- 在二进制形式给定情况下，产生第位。输入长度为的（线性大小）电路是字符串长度前缀的（简洁）预言。猜想变成“任何具有'快速'oracle且带有'concise'前缀oracle的无限字符串”。 $j$ $1$ $j$ $0$ $j$ $j$ $n$ $2^n$

上面没有一个解释为什么和“ linear”可能是正确的语句参数；但是我认为它们表明一种自然的直觉-电路像算法一样工作，而更复杂的算法需要类似复杂的电路-可能会产生误导。 $``\mathsf{P}"$

— 高利贷
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