拉斯维加斯vs蒙特卡洛随机决策树复杂度

背景：

决策树复杂度或查询复杂度是一种简单的计算模型，定义如下。令为布尔函数。的确定性查询复杂度（表示为是确定性算法需要读取的输入的最小位数（在更坏的情况下），计算。注意，复杂度的量度是读取的输入位数。所有其他计算都是免费的。$f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$$f$$D(f)$$x\in\{0,1\}^n$$f(x)$

类似地，我们将拉斯维加斯随机查询复杂度（表示为为需要通过计算的零误差随机算法期望读取的最小输入位数。零错误算法始终输出正确的答案，但是它读取的输入位数取决于算法的内部随机性。（这就是为什么我们测量读取的输入位的预期数量。）$f$$R_0(f)$$f(x)$

我们将蒙特卡洛随机查询复杂度（表示为定义为需要由计算的有界误差随机算法读取的最小输入位数。有界错误算法总是在最后输出答案，但是只需要正确的概率就可以大于（例如）。$f$$R_2(f)$$f(x)$$2/3$

题

关于是否是

$R_0(f) = \Theta(R_2(f))$吗？

众所周知

$R_0(f) = \Omega(R_2(f))$

因为蒙特卡洛算法至少与拉斯维加斯算法一样强大。

我最近了解到，这两种复杂性之间没有已知的分离。我可以找到有关此声明的最新参考文献是1998年的文献[1]：

[1] Nikolai K. Vereshchagin，随机布尔决策树：几句话，理论计算机科学，第207卷，第2期，1998年11月6日，第329-342页，ISSN 0304-3975，http： //dx.doi.org/ 10.1016 / S0304-3975（98）00071-1。

就另一个而言，最知名的上限是

$R_0(f) = O(R_2(f)^2 \log{R_2(f)})$

由于[2]：

[2] Kulkarni，R.和Tal，A.（2013年11月）。关于小数块敏感性。在计算复杂性电子学术讨论会（ECCC）（第20卷，第168页）中。

我有两个具体问题。

1. [参考要求]：是否有更新的论文（1998年之后）讨论此问题？
2. 更重要的是，是否有候选函数可以将这两个复杂性区分开？

在v2中添加：添加了参考文献[2]，强调了有关候选函数存在的第二个问题。

据我所知，这仍然是开放的。Aaronson等人在最近的一篇论文中提到了这些数量和某些界限：弱奇偶校验（请参阅http://arxiv.org/abs/1312.0036）。您还可以看到《 Jukna：布尔函数》的第14章，以及Buhrman和de Wolf的1999年（至今仍胜过1998年！）调查。Magniez等人最近发表了另一篇有关随机决策树复杂性的论文：http ://arxiv.org/abs/1309.7565

最后，我上个月为自己做了一个简短的摘要（没有defs）：

R2 <= R0 <= D <= n

D <= N0 * N1 <= C ^ 2 <= R0 ^ 2

s <= bs <= C <= s * bs <= bs ^ 2（新：[Gilmer-Saks-Srinivasan]：有f st bs ^ 2（f）= O（C（f））））

D <= N1 * bs <= bs ^ 3 <=（3R2）^ 3

deg <= D <= bs * deg <= deg ^ 3（新：[Tal]：bs <= deg ^ 2）

D <= N1 *度

C <= bs * deg ^ 2 <= deg ^ 4

敏感性推测是，s也与其他参数在多项式上相关。

这个问题已经解决！

前几天安德里斯·安贝尼斯，卡斯帕尔斯Balodis，Aleksandrs Belovs，特洛伊李米克洛什桑沙和法学Smotrovs上传出一个总的功能存在一个预印本其满足$f$

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_2(f)^{2})$

乃至

$R_0(f) = \tilde{\Omega}(R_1(f)^{2})$，

其中表示1面有限错误随机查询复杂度。$R_1(f)$

两种分离最适合对数因子！