我们有任何重要的统一电路吗？

给定一个在时间运行的算法，对于相同的大小最大问题，我们可以将其转换为“平凡的”统一电路系列。≈ 吨（Ñ ）日志吨（Ñ $t(n)$$\approx t(n)\log t(n)$

另一方面，即使是最佳运行时间，也可能是针对该问题的统一电路小得多。产生电路所需的时间可能比长，但它们很小。t （n $t(n)$$t(n)$

但是，我们实际上知道如何构建这种东西吗？我认为最初要问的是

（1）我们是否有非平凡的均匀电路的建设性例子，即，均匀电路的大小小于相同问题的任何算法的最著名运行时间？

现在，我相信如果，那么我们就有一个指数时间算法，可以通过穷举搜索找到最优电路：给定，我们写下所有答案输入（花费时间）; 然后我们以递增的方式枚举输入上的所有电路，直到找到一个给出所有正确答案的电路。搜索以平凡转换的大小或函数的真值表终止，如果输出为则以终止。（编辑：托马斯指出，由于香农/卢帕诺夫，界限为。） ñ 2 Ñ（2 Ñ）吨（Ñ ）ñ 吨（Ñ ）日志吨（Ñ ）2 Ñ { 0 ，1 } Ô （2 Ñ / Ñ $\mathsf{DTIME(t(n))}$$n$$2^n$$(2^n)t(n)$$n$$t(n) \log t(n)$$2^n$$\{0,1\}$$O(2^n/n)$

因此，我们对问题（1）的回答是“不能令人满意”：选择一种语言，该语言在以上的任何时间都很难，但仍然可以确定；上面的过程输出大小为的真值表。2 $2^n$$2^n$

因此，我们应该提炼问题（1）。我认为最有趣的两个案例是

（2）我们有多项式大小的非平凡均匀电路的构造性例子吗？（即使它们是由非常慢的算法生成的。）

（3）我们有多项式时间可生成的，多项式大小的非平凡均匀电路的构造性例子吗？

这可能要问的太多了。一个简单的问题呢：我们甚至知道这样的事情是可能的吗？也许没有不平凡的统一电路存在？

（4）对于任何，以下语句是否为假？（编辑：，谢谢托马斯。）“如果语言具有大小为均匀电路，那么它也具有在。” （如果是这样，那么什么时候用“多项式时间统一”，“对数空间统一”等替换“统一”？）ø （2 Ñ / Ñ ）大号Ô （小号（Ñ ））〜Ô（小号（Ñ ）$s(n) = o(2^n)$$o(2^n/n)$$L$$O(s(n))$$\tilde{O}(s(n))$

最后，如果以上问题太难了，

（5）我们是否有统一的电路族结构，而不仅仅是将算法转换为电路（或写下真值表）？

后记。我问过的一位专家提到了“关于中均匀性和电路下界”（pdf），Santhanam和Williams，2013年，这可能是最紧密相关的工作，但它证明了下界（多时间生成电路不是太强大了）。我会对任何其他相关工作感兴趣！

以下是您最后两个问题的答案。

（5）排序网络是统一的电路，其排序速度与最佳RAM算法一样快，但绝对不只是RAM算法的转换（例如，快速排序）。[ AKS83，G14 ]

（4）是的，对于任何且，都是出于愚蠢的原因：每个函数都是由大小为。（Shannon将其证明为一个常数，而Lupanov获得了最佳常数。）通过时间层次定理，在和之间存在一个函数具有统一的时间复杂度。这给出了一个反例：具有大小为（我认为可以在时间内计算得出），但在$s(n)=(1+\varepsilon) \cdot 2^n/n$$\varepsilon>0$$(1+o(1)) \cdot 2^n/n$$f$$\Omega(3^n)$$O(n \cdot 3^n)$$f$$O(2^n/n)$$2^{\mathrm{poly}(n)}$s（n）=o（2n/n$\tilde{O}(2^n/n)$时间。您可能应该要求。$s(n) = o(2^n/n)$

这是个有趣的问题; 我希望有人可以回答（1）-（3）。