通过随机交换生成所需排列的可能性

我对以下问题感兴趣。我们作为输入“目标置换” ，以及指标的有序列表。然后，从该列表（即，身份置换），在每个时间步我们交换在元件 $\sigma\in S_n$ $i_1,\ldots,i_m\in [n-1]$ $L=(1,2,\ldots,n)$ $t\in [m]$ $i_t^{th}$ $L$ 与元件，具有独立的概率。令为作为输出产生的概率。 $(i_t+1)^{st}$ $1/2$ $p$ $\sigma$

我想知道以下任何一项：

正在确定是否是问题？ $p>0$ $NP$
计算正好是完成吗？ $p$ $\#P$
关于乘积常数近似，我们能说什么？是否有PTAS？ $p$

交换不需要相邻元素的变体也很有趣。

请注意，将这个问题简化为边缘不相交的路径（或整数值的多商品流）并不困难；我不知道是朝另一个方向减少。

更新：确定，检查Garey＆Johnson，他们的问题[MS6]（“置换生成”）如下。给定作为输入的目标置换，连同子集，决定是否可表示为一个产品，其中每个平凡作用在不是所有的索引在。 Garey，Johnson，Miller和Papadimitriou（不幸的是，在付费专栏后面）证明了这个问题是 $\sigma\in S_n$ $S_1,\ldots,S_m\in [n]$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$ $\tau_i$ $S_i$ 硬。 $NP$

如果交换不需要相邻，那么我认为这意味着确定是否也是 -hard。减少很简单：每个为了，我们将提供一组“候选互换”的对应于一个完整的排序网络（即，能够置换的随意，而琐碎地对待其他事物）。然后将表达为，当且仅当它是可到达的，因为这些互换的产物。 $p>0$ $NP$ $S_1,S_2,\ldots$ $S_i$ $S_i$ $\sigma$ $\tau_1 \cdots \tau_m$

这仍然保留“原始”版本（交换仅适用于相邻元素）。对于计数的版本（任意互换），它当然也有力地表明，这个问题应该是 -complete。无论如何，除非否则它将排除PTAS 。 $\#P$ $P=NP$

— 斯科特·亚伦森
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不知道我明白这个问题。概率在哪里？您是否以概率1/2交换而不是以概率1/2交换？

— 阿纳布2014年

@arnab是的。斯科特，所以您已经证明了

，仍然是NP-hard。我的直觉是，您的“原始”问题应该更容易一些，但首先我会尝试减少纸张的使用。

| S_{i} | = 2

$|S_i|=2$

— didest 2014年

我认为是否可以在多项式时间内确定p> 0。

可以很容易地将所讨论的问题转换为边不相交的路径问题，其中基础图是由m +1层组成的平面图，每个层包含n个顶点，再加上m个4 阶顶点来表示可能的相邻交换。请注意，此图的平面性来自以下事实：我们仅允许相邻的交换。

如果我没记错的话，这属于冈村和西摩[OS81]解决的边缘不相交路径问题的特例。另外，Wagner和Weihe [WW95]针对这种情况给出了线性时间算法。

另请参阅Goemans的讲义[Goe12]，它很好地说明了Okamura–Seymour定理和Wagner–Weihe算法。

参考文献

[Goe12] Michel X. Goemans。 讲义，18.438高级组合优化，第23讲。麻省理工学院，2012年春季。http： //math.mit.edu/~goemans/18438S12/lec23.pdf

[OS81]冈村晴子和保罗·西摩。平面图中的多商品流动。 杂志组合理论，B系列，31（1）：75-81，1981年八月 http://dx.doi.org/10.1016/S0095-8956(81)80012-3

[WW95] Dorothea Wagner和Karsten Weihe。平面图中边缘不相交路径的线性时间算法。 Combinatorica，15（1）：135-150，1995年3月 http://dx.doi.org/10.1007/BF01294465

— 伊藤刚
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