TQBF的这种变体是否仍是PSPACE完整的？

确定是否有一个量化的布尔公式，例如

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

始终评估为true是经典的PSPACE完全问题。这可以看作是两个玩家之间交替进行的游戏。第一个玩家决定奇数变量的真值，第二个玩家决定偶数变量的真值。第一个玩家尝试将 false，第二个玩家尝试将其设置为true。决定谁拥有制胜法宝是PSPACE-complete。$\varphi$

我正在考虑两个参与者的相似问题，一个试图使布尔公式$\varphi$真，而另一个试图使它为假。区别在于，在一次移动中，玩家可以为其选择一个变量和一个真值（例如，在第一步移动中，玩家可能会决定将$x_8$设置为true，然后在下一步中，第二个玩家可能会选择决定将$x_3$设置为false）。这意味着玩家可以决定要分配真值的变量（尚未分配真值的变量），而不必按照$x_1 , \ldots , x_n$的顺序进行游戏。

给该问题一个 关于n个变量的布尔公式$\varphi$，以决定玩家一（试图使它为假）或玩家二（试图使它为真）是否有获胜策略。由于游戏树具有线性深度，因此这个问题显然仍然存在于PSPACE中。$n$

它是否保持PSPACE完整？

这是一个无序约束满足游戏，它是PSPACE完全的，并且直到最近才被证明是PSPACE完全的；证明可以在以下位置找到：

Lauri Ahlroth和Pekka Orponen，无序约束满意游戏。《计算机科学》第7464卷的讲义，2012年，第64-75页。

抽象：我们考虑在布尔约束系统上的两人约束满足游戏，其中玩家轮流选择可用变量之一并将其设置为true或false，目标是最大化（对于Player I）或最小化（对于Player II）满足约束的数量。与标准QBF型变量赋值游戏不同，我们没有强加变量的播放顺序。这使游戏设置更加自然，但控制起来也更具挑战性。当约束是奇偶函数或阈值函数且阈值比约束条件小时，我们为播放器I提供多项式时间，恒定因子近似策略。此外，我们证明即使在这种无序设置下，确定玩家I是否可以满足所有约束的问题也是PSPACE-complete，

从内容：

$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

$C$

... 定理4：决定的问题GBF可满足布尔公式是PSPACE完成。

编辑：丹尼尔·格里尔（Daniel Grier）发现结果也是由沙弗（Schaefer）在70年代解决的，请参阅此页上的答案作为参考（并赞成:-）。Schaefer证明，即使限于正CNF公式（即合取范式的命题公式，其中没有负变量出现）的博弈仍然是PSPACE完全的，每个连词最多包含11个变量。

值得一提的是，托马斯·谢弗（Thomas Schaefer）在70年代的《基于有限的两人完美信息游戏的决策问题的复杂性》中也解决了这个问题。实际上，他证明了一种稍​​强的结果，因为即使限于积极的CNF公式，该语言仍保持PSPACE完整。

我们证明了该游戏对于5-CNF来说是PSPACE完全的，但是对于2-CNF则具有线性时间算法。此前的最佳成绩是Ahlroth和Orponen的6-CNF。

您可以在ISAAC 2018上找到会议论文。

更新：2019年11月16日

我们证明了在3-CNF的某些限制下，该游戏对于3-CNF而言是易于处理的。我们也从根本上猜测该游戏在不受3-CNF限制的情况下也很容易处理。您可以在ECCC上找到初始版本。