确实

如果我们定义 ${\bf PPAD}$ ，从而用对数图灵机或 ${\bf AC^0}$ 电路代替多时图灵机/多尺寸电路对问题进行编码，会发生什么？

最近给予更快的算法电路可满足对小型电路竟然是重要的，所以我不知道会发生什么的rectricted版本 ${\bf PPAD}$ 。

— 多摩普
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Buss and Johnson，“ NP搜索问题之间的命题证明和归约”，证明PPAD在图灵归约下是封闭的，而且我敢肯定，对该参数的较小修改就能使PPAD与其（统一）AC ^ 0版本等效。

— EmilJeřábek在2014年

@Emil：谢谢您的建议，不幸的是本文中的观点超出了我。如果有人能告诉我其含义，我将不胜感激。另外，让我在这里链接到其预印本：math.ucsd.edu/~sbuss/ResearchWeb/NPSearch/NPSearch.pdf

— domotorp 2014年

$\def\ac{\mathrm{AC}^0}$ 是，。（在这里和下面，我假设被定义为一个统一的类。当然，对于非统一的我们只会得到。） $\ac\mathrm{PAD}=\mathrm{PPAD}$ $\ac$ $\ac$ $\mathrm{PPAD/poly}$

基本思想非常简单：可以完成图灵机计算的一个步骤，因此我们可以通过可计算边的多项式长线来模拟一个多项式时间可计算边。通过对该思想的进一步扩展，可以使用PPAD oracle模拟可在多边形时间内计算的边，即，在Turing可约性下PPAD是封闭的。布斯和约翰逊给出了这个论点。 $\ac$ $\ac$

文献中有许多等效的PPAD定义，但在各个细节上有所不同，因此，为了确定起见，我在这里固定一个。如果存在多项式以及具有以下属性的多项式时间函数，和，则NP搜索问题在PPAD中。对于每个长度为输入，和表示有向图没有自环，其中，并且每个节点都具有-学位和学位以下。表示是这样，如果 $S$ $p(n)$ $f(x,u)$ $g(x,u)$ $h(x,u)$ $x$ $n$ $f$ $g$ $G_x=(V_x,E_x)$ $V_x=\{0,1\}^{p(n)}$ $1$ $(u,v)\in E_x$ ，则和；如果出度为，则 ; 并且如果的度数为，则。 $f(x,u)=v$ $g(x,v)=u$ $u$ $0$ $f(x,u)=u$ $u$ $0$ $g(x,u)=u$

的节点是一个源（即，它具有入度和出度）。如果是除以外的任何源或汇（，出度），则是。 $0^{p(n)}\in V_x$ $0$ $1$ $u\in V_x$ $1$ $0$ $0^{p(n)}$ $h(x,u)$ $S(x)$

我们可以类似地定义，除了我们要求在。 $\ac\mathrm{PAD}$ $f,g,h$ $\mathrm{FAC}^0$

为了简单起见，我将忽略的构造。（不难证明有人可以将其视为投影，因此可计算。） $h$ $\ac$

因此，考虑由和定义的PPAD问题，并修复图灵机在时间计算和。对于任何，我们定义一个有向图其顶点是以下形式的序列： $S$ $f$ $g$ $f$ $g$ $q(n)$ $x$ $G'_x=(V'_x,E'_x)$

$(0,u,c_1,\dots,c_k)$ ，其中，，和是第一配置在的计算。 $u\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)$ ，其中，，，是完整计算，和是第一中的计算步骤。 $u,v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $f(x,u)=v$ $c_1,\dots,c_{q(n)}$ $f(x,u)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
$(1,v,d_1,\dots,d_k)$ ，其中，，而是第一个在的计算中有配置。 $0^{p(n)}\ne v\in V_x$ $0\le k\le q(n)$ $d_1,\dots,d_k$ $k$ $g(x,v)$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$ ，其中，，，，是的计算，而是第一个计算步骤。 $u,v\in V_x$ $v\ne0^{p(n)}$ $0\le k\le q(n)$ $g(x,v)=u$ $d_1,\dots,d_{q(n)}$ $g(x,v)$ $c_1,\dots,c_k$ $k$ $f(x,u)$

$E'_x$ 由以下类型的中的边组成： $V'_x\times V'_x$

$(0,u,c_1,\dots,c_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)})\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v)$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_k)\to(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{k+1})$
$(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},v,d_1,\dots,d_{q(n)})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{q(n)})$ 如果且（即或为孤立的顶点） $f(u)=v$ $g(v)=u$ $(u,v)\in E_x$ $u=v$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u,c_1,\dots,c_k)$
$(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},u)\to(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)})$
$(1,v,d_1,\dots,d_{k+1})\to(1,v,d_1,\dots,d_k)$
$(1,u)\to(0,u)$

形式上，令为一个多项式，以上述所有序列的二进制表示形式的长度为界（这样我们就可以扩展或缩短序列，并使用函数提取其元素）；我们实际上将放进，然后将除上述序列之外的所有顶点都隔离开。 $r(n)$ $\ac$ $V'_x=\{0,1\}^{r(n)}$

这是很容易看到，功能代表是 -computable：特别是，我们可以在测试是否是一个有效的局部计算，我们可以从计算，并且可以从提取的值。 $f'$ $g'$ $G'_x$ $\ac$ $\ac$ $c_1,\dots,c_k$ $f(x,u)$ $c_{k+1}$ $c_k$ $f(x,u)$ $c_{q(n)}$

中的汇是形式为节点，其中是汇点。同样，源是，其中是的源，特殊情况下除外情况，我们已经将行，的对应源就是。我们可以假设以的方式完成序列的编码。 $G'_x$ $(0,u,c_1,\dots,c_{q(n)},u,d_1,\dots,d_{q(n)})$ $u$ $G_x$ $(1,v,d_1,\dots,d_{q(n)},v,c_1,\dots,c_{q(n)})$ $v$ $G_x$ $v=0^{p(n)}$ $G'_x$ $(0,0^{p(n)})$ $(0,0^{p(n)})=0^{r(n)}$

因此，和定义了问题，我们可以通过输出 ac-函数解从提取解。序列的第二部分。 $f'$ $g'$ $\ac\mathrm{PAD}$ $S'$ $S(x)$ $S'(x)$ $\ac$ $h'$

— EmilJeřábek支持Monica
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