简单输入的lambda演算和高阶逻辑

简单类型的lambda演算与高阶逻辑之间有什么关系？

在库里-霍华德看来，简单键入的λ演算似乎对应于命题逻辑。它与高阶逻辑有什么关系？根据Geuvers的本教程：http ://typessummerschool07.cs.unibo.it/courses/geuvers-1.pdf，HOL 的语言似乎是STT。不应该是PROP吗？那是什么意思？

在定义STT时，Church是否考虑过HOL？

lo.logic typed-lambda-calculus curry-howard

— lambda2
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是的，Church确实考虑到了HOL。从STT获得HOL的技巧是使用除函数应用程序和函数抽象之外的相等性。然后，您可以将编写为等。我喜欢“简单类型理论的七个美德”作为STT的简介，它解决了此类问题。也许我应该写个答案...

(\forall x : α . A_{*})

$(\forall x:\alpha.A_*)$

(λ x : α . A_{*}) = (λ x : α . ⊤)

$(\lambda x:\alpha.A_*)=(\lambda x:\alpha.\top)$

— Thomas Klimpel 2014年

因此，当谈论Curry-Howard时，与STT等效的正确逻辑是什么？HOL还是PROP？

— lambda2

关于库里-霍华德，它不认为这是HOL。可能是直觉型PROP的乘法片段，即没有“或”的直觉型PROP。但这是针对CCC（笛卡尔封闭类别）的，此刻我有点累。Lambda可能会翻译为“蕴涵”，这在CCC中是“指数”的。CCC的“产品”是“和”，因此您需要在STT中使用“对”。然后，“或”将是STT中的“求和”类型，即不相交的并集，如果是“ a”，则为“ b”，否则为“ c”。

— Thomas Klimpel

我想让我感到困惑（或一切）。如果STT〜= PROP（通过Curry-Howard），并且STT也是HOL，那么我可以在某种意义上使用PROP进行HOL吗？

— lambda2 2014年

@ThomasKlimpel：您应该将您的评论变成答案。

— 科迪2014年

区别是：如果在类型级别添加构造函数时将STLC视为原始语言，则少量公理就足以为您提供HOL的完整表达能力。

将作为数字的基本类型并将作为命题的基本类型，您可以添加常量 $\iota$ $\omicron$

\forall_{τ} : (τ \to ο) \to ο \supset: ο \to ο \to ο

$\forall_\tau:(\tau\rightarrow \omicron)\rightarrow \omicron\quad \supset:\omicron\rightarrow\omicron\rightarrow \omicron$

其中是任意类型（因此每种类型都有一个常量）。一组可能的公理： $\tau$ $\forall$

\frac{ϕ (x)}{\forall_{τ} (λ x . ϕ (x))} x : τ not free in the hypotheses

$\frac{\phi(x)}{\forall_\tau(\lambda x.\phi(x))}\mbox{$x:\tau$ not free in the hypotheses}$

\frac{\begin{matrix} [ψ] \\ . \\ . \\ . \\ ϕ \end{matrix}}{ψ \supset ϕ}

$\frac{\Large{\substack{[\psi]\\ \\ .\\ .\\ .\\ \\ \phi}}}{\psi\supset \phi}$

其中表示假设已解除。有趣的事实：其他 ...可以仅从这两个词派生。 $[\psi]$ $\psi$ $\exists_\tau, \vee$

精妙之处在于可以区分术语，以表示证明的一种方式，这是由Curry-Howard-de Bruijn（Martin-Löf）对应关系所表示的，或者是一种表示您依据的术语的方式。当然，这两种观点并不矛盾。 $\lambda$

特别是，有一个类型化的 -calculus忠实地表示HOL（当然要减去各种公理）。这恰好是构造微积分的一个子系统，Geuvers在《构造微积分和高阶逻辑》中对此进行了详细描述。他还详细介绍了两者之间的区别（CoC不是HOL的保守扩展）。 $\lambda$

— 科迪
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我忘了要注意：如果您添加以及一些聪明的公理，那可以避免添加和，这就是Thomas所建议的。

\forall_{τ}

$\forall_\tau$

\supset

$\supset$

=_{τ} : τ \to τ \to ο

$=_\tau :\tau\rightarrow\tau\rightarrow\omicron$

— 2014年

请问那些聪明的公理是什么？我想这与提供一种证明相等性的方法有关……另外，您是否知道一个明确区分HOL扩展级别的名称？（具有相等性，然后具有多态类型，然后具有依存类型）。

— Hibou57

@ Hibou57公理在出色的文章“简单类型理论的七个美德”中进行了概述。我不知道除了您使用的扩展名以外，还有其他显式名称来区分STT的不同扩展名。

— 科迪