“蛇”重新配置问题

在写一篇关于电子游戏的复杂性的小文章时，Nibbler和Snake ; 我发现它们都可以建模为平面图上的重新配置问题。并且似乎不太可能在运动计划领域中没有很好地研究此类问题（例如，想象中的是一连串的滑架或机器人）。游戏是众所周知的，但这是相关重新配置模型的简短描述：

蛇问题

输入：给定一个平面图形，卵石被放置在节点形成一个简单的路径。小卵石代表蛇，第一个是他的头。头部可以从其当前位置移动到相邻的自由节点，然后身体跟随它。有些节点标有点；当头部到达带有点的节点时，在头部的以下移动中，身体将增加卵石。遍历蛇后，将删除节点上的点。升p 1，。。。，p 升ü 1，。。。，ü 升p 1 Ë $G = (V,E)$$l$$p_1,...,p_l$$u_1,...,u_l$$p_1$$e$$e$

问题：我们问蛇是否可以沿着图形移动并到达目标配置 ，其中目标配置是蛇位置（即小卵石的位置）的完整描述。$T$

很容易证明，即使不使用任何点，在最大度数为3的平面图上，SNAKE问题也是NP-hard问题；如果可以使用任意数量的点，则在SOLID网格图上也很容易证明。在没有点的实体网格图上，事情变得很复杂（这与另一个开放问题有关）。

我想知道是否已经用另一个名字研究了这个问题。
尤其是如果有证据证明它在NP中...

编辑：即使在平面图上，该问题也证明是PSPACE完全的，并且结果似乎非常有趣，因此仍有待确定这是否是一个新问题以及是否有已知结果。

一个简单的例子（鹅卵石显示为绿色，蛇的头是P1）。

将蛇从一个位置移动到另一个位置已完成PSPACE。Snake在PSPACE中微不足道。我们根据Hearn的不确定性约束逻辑给出了PSPACE硬度降低的信息。

非确定性约束逻辑

令约束图为具有权重和边的有向图，以使每个顶点都具有传入权重。给定两个约束图，PSPACE很难通过一次反转一个边，同时保持每个顶点的输入权重来将一个转换为另一个。如果图形是平面的并且每个顶点的阶数为，并且其边缘的或全部的权重为，则仍然保持这种状态。前一种顶点称为“ And”，后一种顶点称为“ Or”（见图）。 2 ≥ 2 ≥ 2 3 1 3 $1$$2$$\geq 2$$\geq 2$$3$$1$$3$$2$

蛇

在我们的构造中，蛇的头部将在较小的距离处追逐其尾巴，并且将被迫重复进行相同的循环，但要进行细微的修改。如图所示，我们嵌入了约束图的每个边缘（边缘显示为红色），其中我们用粗线表示了蛇的位置。一条边具有两个边（顶点），并且蛇在该边指向的顶点处采用中心路线。

为了反转边缘，蛇首先清除中心路线，然后在其头部到达相反顶点后采取中心路线。

我们嵌入了约束图的顶点，如下所示，其中三个彩色部分中的每一个都是上面所示的边缘小工具的一半。边缘接触的点通过强制蛇走一些边缘小工具的中心路线，确保每个顶点的传入权重至少为。$2$

最后，所有边缘小配件的黑线都连接在一起形成一个循环，因此蛇的头部追逐其尾巴。如果在两个边缘小工具之间，我们使黑色路径足够长，则蛇必须始终以相同的循环顺序遍历黑色路径。

为了显示黑色路径始终可以以平面方式构建，请考虑约束图的生成子树（下图中的粗边）。然后，我们可以使黑色边缘遵循此树，如下所示，从而生成平面图。

蛇的目标位置可以通过相同的变换得出。因此，即使在平面图上，重新配置蛇也已完成PSPACE。