一次读取决策树的等价问题的复杂性是什么？

一次读取决策树的定义如下：

$True$ 和是一次读取的决策树。 $False$
如果和是一次读取决策树，并且是在和不存在的变量，则也是一次读取决策树。 $A$ $B$ $x$ $A$ $B$ $(x \land A) \lor (\bar x \land B)$

输入：两个读一次决策树和。 $A$ $B$
输出：是吗？ $A \equiv B$

动机：

当我查看线性逻辑片段的证明等价性问题（规则置换）时，出现了这个问题。

— 渣
source

您不能使用简化的二进制决策图吗？编辑：可能不是，错误，您的变量未排序...

— Sylvain 2015年

@Kaveh Nope，它发生在证明理论中：我正在研究线性逻辑片段的证明等价问题（规则置换）。归结为这个布尔问题。因为我不是专家，所以我想问一下这是否是一个众所周知的问题。因此，是的，我起了名字，因为我没有更好的名字。

— Marc

@Marc，通常最好解释一下您为什么对问题感兴趣。我编辑了问题。请看一下以确保一切正常。（也删除了我以前的评论，因为不再需要它们。）

— Kaveh，2015年

@Kaveh是的，对此感到抱歉。我编辑了您的重新表述，使其更接近我的原始论点（如果您的条件还可以，我无法立即得出结论，所以这样做似乎比较容易）

— Marc 2015年

Answers:

我找到了部分解决方案。问题出在L。

的取反等效于，它等效于如果和。 $A \leftrightarrow B$ $(\bar A \land B) \lor (A \land \bar{B})$ $False$ $(\bar A \land B)$ $(A \land \bar{B})$

对于只读一次决策树可以从只读一次决策树来获得切换和的。这可以在日志空间中完成。 $\bar{A}$ $A$ $True$ $False$ $A$

要检查是否与等价（并且类似地适用于），我们遍历所有成对的叶子，每棵树一对，并检查它们是否兼容（也就是说，其中一个路径上没有，而另一条路径上有）。如果我们找不到兼容的对，则等效于。这可以在日志空间中完成。 $\bar A \land B$ $False$ ${A} \land \bar{B}$ $True$ $x$ $\bar x$ $False$

因此问题至少在L中。

编辑：我有一些想法来证明这是L完全的，可能是在减少下。但是我需要检查细节，这里不适合。如果一切顺利，我将发布指向我正在写的文章的链接！ $AC_0$

EDIT2：在那里，http：//iml.univ-mrs.fr/~bagnol/drafts/mall_bdd.pdf

因此，问题确实是Logspace完整的。

— 渣
source

x . A + \bar{x} . B

$x.A+\overline{x}.B$

(\bar{x} + \bar{A}) . (x + \bar{B})

$(\overline{x}+\overline{A}).(x+\overline{B})$

x . \bar{A} + \bar{x} . \bar{B} + \bar{A} . \bar{B}

$x.\overline{A}+\overline{x}.\overline{B}+\overline{A}.\overline{B}$

x . \bar{A} + \bar{x} . \bar{B}

$x.\bar A+\bar x.\bar B$

x

$x$

\bar{x}

$\overline{x}$

1

$1$

L

$L$

一种简单的说法是：每个路径是最小项或最大项，具体取决于其叶子的标签。我们检查它们是否具有相同的最小项。我们可以枚举日志空间中的最小项，并检查日志空间中两个最小项是否相同。

— 卡夫

N C^{1}

$NC^1$

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

$\phi$

$0$ $1$ $1$ $\{x,\overline{y},z\}$ $\{x,\overline{y},z\}$ $\{x,y,z\}$ $\{x,z\}$ $y$ $\{x,\overline{y},z,t\}$ $\{x,y,z\}$

$\{x_1,\dots,x_n\}$ $i$ $x_i$ $\{\vec x,x_i,x_j\},\{\vec x,\overline{x_j}\}$ $\{\vec x,x_i\},\{\vec x,\overline{x_i},\overline{x_j}\}$ $i<j$ $\vec x$ $x_i$ $x_j$ $j-i$

$P$

— 丹尼斯
source

x, y, z

$x,y,z$

x, \bar{y}, z

$x,\bar y,z$

x, y, \bar{z}

$x,y,\bar z$

嗯，是的，忘记了，我正在添加一个修复程序，希望它现在可以正常工作。

— 丹尼斯

如果有效，别忘了索要您的百万美元:)

— Marc

L

$L$