对计算机辅助的NP完整性证明感到好奇

在Thomas J. Schaefer的“可满足性问题的复杂性”一文中，作者提到

This raises the intriguing possibility of computer-assisted NP-completeness proofs. Once the researcher has established the basic framework for simulating conjunctions of clauses, the relational complexity could be explored with the help of a computer. The computer would be instructed to randomly generate various input configurations and test whether the defined relation was non-affine, non-bijunctive, etc.

当然，这是一个限制：

The fruitfulness of such an approach remains to be proved: the enumeration of the elements of a relation on lO or 15 variables is Surely not a light computational task.

我很好奇

1. 在开发这种“计算机辅助NP完整性证明”概念时，是否有后续研究？最新技术（可能特定于或）是什么？ 由于Schaefer提出了“计算机辅助的” NP完全性证明的思想（至少对于缩减），这是否意味着这些缩减（对于或）？如果是这样，它们是什么？ 3分区SAT 3SAT$\textsf{3SAT}$$\textsf{3-Partition}$
   $\textsf{SAT}$$\textsf{3SAT}$$\text{3-Partition}$
2. 有没有人在与计算机助手一起证明NP完整性方面有经验？还是有人可以伪造一个例子？

对于问题2，至少有两个涉及计算机辅助的完整性证明的例子。$NP$

Erickson和Ruskey提供了计算机辅助的证据，证明Domino Tatami Covering是NP完整的。他们给出了从平面3-SAT到榻榻米多米诺骨牌覆盖的多项式时间缩减。SAT求解器（Minisat）用于自动执行还原中的小工具发现。尚无其他完整性证明。$NP$

Ruepp和Holzer证明了铅笔拼图Kakuro是。完整性证明的某些部分是使用SAT求解器（再次是Minisat）自动生成的。ñ $NP$$NP$

在本文中，我表明如果对于某个存在一个最大度为且色边强度严格大于，则确定色边强度是否最大为是。这样的图对于是已知的，我进行了计算机搜索以找到适合顶点图。ķ ķ Θ p 2 ķ ķ > 3 12 ķ = $k\geq 3$$k$$k$$\Theta_2^p$$k$$k>3$$12$$k=3$

色强度和色边缘强度的复杂性。计算复杂度，14（4）：308-340，2006

从上面的评论：

我使用Choco Java库进行约束编程，以检查用于证明以下难题的NP完整性的小工具的正确行为：二元难题，帐篷，无自由单元的滚动立方体难题，Net。我还没有时间发布它们，但是可以在我的博客上找到这些论文草稿。

$0$$1$$n \times n$

（A）如果要使用PLANAR SAT作为源NPC问题，则为逻辑门（AND + OR）和链接；要么

（B）如果要使用网格图上的哈密尔顿循环作为源NPC问题，则可以同时激活1个入口和1个出口的3级节点（请注意在这种情况下，必须存在另一个强制“连接路径”的条件）。

在这两种情况下，我们都使用初始配置来固定小工具的边界（以防止不必要的交互），并且我们仅允许通过中心元素（或元素组）在两个相邻小工具之间进行交互。这种中心元件的配置在（A）情况下应表示逻辑值，在（B）情况下应表示遍历。

例如，对AND建模：

***C***   *=fixed elements (initial config. of the puzzle)
*xxxxx*   x=internal logic (some elements can be fixed,
AxxxxxB     other must be completed/traversed)
*xxxxx*   A,B,C=elements shared with adjacent gadgets
*******

在这一点上，使用SAT求解器检查小工具（最好使用CPL），就足以实施拼图规则，然后在A，B，C取值的所有可能组合时检查可满足性；看看它们是否与期望的行为一致。例如，在AND情况下，在所有小工具有效（可满足）的配置中，如果C为true（C表示逻辑值true），则A和B都必须为true。

如果小工具非常复杂（例如，在Rolling cube拼图中），我认为这是确保它们正确运行（并且NPC证明正确的唯一方法）。

我在我的学士学位论文中做了这件事-计算机辅助的NP完整性证明！

不好的部分-它是俄语的，没有被翻译成英语。 http://is.ifmo.ru/diploma-theses/_dvorkin_bachelor.pdf

我在2D问题中使用逻辑门。该计划是：

• 手动设计问题中“电线”的外观。
• 使用非常聪明和优化的搜索（实际上是对概要集进行动态编程）来自动设计所有必要的逻辑门。
• 利润！

该代码可以通过以下方式获得：https : //code.google.com/p/metadynamic-programming/

这样，通过手动工作仅设计导线并编码特定2D问题的规则，我就能证明以下内容的NP完整性：

• 扫雷车
• 水平的多米诺骨牌和垂直的三脚架覆盖区域
• $k$$k \ge 4$$k \in [4,6]$

发问者表示，在回答中他对Schaefer陈述有更广泛的解释是可以的。碰巧一直在为附近主题的博客收集链接，并会在此处写一些内容。

原始陈述（sec 7 p225）在意图上很明确，例如使用“二分法thm” 2.1将NP完全还原为2个可着色的完美匹配thm 7.1的示例。

$F(x)$

$F(x)$$x$

自1978年以来，这些普遍的想法/“种子想法”导致了整个大型分支机构和研究计划，并且仍在进行中，几乎没有任何形式的存在，因此，可以概括地看到这些概论在许多研究领域中得到了发展和探索。在撰写Schaefers论文时。1个^ST一个一般的想法是通过实例的发电机/解算器/分析器NP完全性的经验分析。

• 这里产生的最大的研究领域是随机SAT实例，并研究其上的SAT求解器性能，从而发现了1990年代中期的过渡点，后来证明与统计物理学有着深厚的联系，并且表面上普遍存在/固有/基本方面/ 所有 NP完整问题的特征。这个领域有很多论文，现在有几本书。参见例如信息，物理和计算 Mezard / Montanari

• 分解可满足性问题或使用图更好地了解可满足性问题，Herwig 2006（83pp）。在其他已发表的研究中，这是一种新颖的方法，该方法研究生成的SAT实例的可变子句图结构，并分析其结构/度量以查找与硬度的相关性。

• 可以将疑难问题解决，并将其编码为SAT实例，然后检查其结构或对其运行SAT求解器，并观察SAT求解器的动态行为。很难确定何时完成此操作，但很可能是在1990年代中期左右才考虑到保理的早期情况，这些实例出现在DIMACS SAT求解程序竞赛中。不幸的是，这在当时不一定被认为是可单独发表的研究结果。SAT的几篇论文中都有提及。

  参见例如，“ 满足此要求：尝试使用满足性求解器来解决素因式分解”，作者：Stefan Schoenmackers，Anna Cavender，以及cs.se问题，将整数因式分解问题简化为NP完全问题，以及（上还有其他一些相关的/分散的（T）CS stackexchange问​​题这个）。

2 ^次另一个现代一般思想/种子固有Schaefers旧语句攻击一般硬的算法或数学问题通过将它们转化到SAT的情况下，以及使用现成的，货架（但国家的最先进的）SAT解算器（即广义上来说，SAT解决可以看作是计算机自动定理证明的逻辑/数学中最早的案例之一，其中SAT公式的解决方案就像“定理”，尽管公认的现代观点可能有所改变），并且最近有一些值得注意的问题在这方面取得成功。

• 与随机游走的边界有关的鄂尔多斯差异问题非常艰巨，并且分析方法的进展受到限制，最近采用SAT的新颖/空前的经验方法在相关的开放问题上取得了一些关键成果，许多人将其称为真正的突破。SAT攻击鄂尔多斯差异猜想 Konev，Lisitsa

• 最佳分类网络的研究可以追溯到几十年前，在最小规模的网络上对给定数量的元素进行分类时，自然会遇到一些难题。在过去的几年中，最近取得了重大进展，将其转换为SAT实例并在其上运行标准求解器。最佳分拣网络的新界限米勒（Müller）的埃勒（Ehlers）也引用了其他最新工作。