独立集的属性测试

假设我们得到了图和参数。对于值的范围有（或者是可行的所有），这就是它能够测试是否是 -far从具有至少一个独立的集大小的在时间？$G$$k,\epsilon$$k$$k$$G$$\epsilon$$k$$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$

如果我们使用 -far 的通常概念（即最多需要更改边才能获得这样的集合），那么对于。所以$\epsilon$$\epsilon n^2$$k = O(n\sqrt{\epsilon})$

• 看来，如果较大，一些采样方法应该可以解决该问题。真的吗 ？$k$
• 是否有 -far的其他概念（即边代替），在这些概念下有不平凡的结果？$\epsilon$$\epsilon |E|$

我现在基本上正在寻找参考。

确实已经研究了这个问题。Goldreich，Goldwasser和Ron在他们的开创性论文中对其进行了研究，该论文开始了图形特性测试，然后，Feige，Langberg和Schechtman在他们的FOCS '02论文 “具有微小矢量色数和巨大色数的图形”中也得到了结果。。

具体来说，[FLS '02]表明人们可以通过一组独立的大小来区分图 $\rho n$ 从图 $\epsilon$-远非如此（至少 $\epsilon n^2$ 需要删除边缘以创建这样的独立集），方法是选择由 $s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$ 图中的随机顶点，并检查随机子图是否具有独立的大小集 $\rho s$或不。（[GGR '98]在$s$ 的 $\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$。）[FLS '02]也显示了下限 $s$ 的 $\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$。

的另一个自然定义 $\epsilon$-接近独立集正在变化 $\epsilon k^2$边缘。不幸的是，使用该定义进行属性测试似乎并不是多项式时间可解的。原因是没有人知道如何找到一个种植的集团（以及类似的独立集团）$o(\sqrt{n})$ 的随机图中的顶点 $n$ 顶点比 $n^{O(\log n)}$时间。可以证明，仅比平均密度稍高的子图可用于在多项式时间内找到种植的集团。这是针对针对您的问题的此变体采用多项式时间算法的证据$k$ 之间 $\log n$ 和 $\sqrt{n}$。

参考：Feige和Krauthgamer。在半随机图中找到并验证大型隐藏集团，1999年。