假设

如果$\mathsf{L = NL}$，则存在一种求解2-SAT 决策版本的对数空间算法。

• 当给定一个可满足的2-SAT实例作为输入时，是否已知$\mathsf{L = NL}$暗示存在对数空间算法来获得令人满意的分配？

• 如果不是，那么使用亚线性空间（在子句数中）的算法又如何呢？

给定一个可满足的2-CNF ，您可以通过NL函数计算一个特定的令人满意的赋值e（即，有一个NL谓词P （ϕ ，i ）告诉您e （x i）是否为真）。下面介绍了一种方法。我将自由地使用NL在A C 0归约下是封闭的这一事实，因此NL函数在合成下是封闭的。这是NL = coNL的结果。$\phi$$e$$P(\phi,i)$$e(x_i)$$\mathrm{AC}^0$

令为可满足的2-CNF。对于任何字面一个，让一个→是文字的数量从可到达的一个通过在的蕴涵图的有向路径φ，和一个←文字的数量从$\phi(x_1,\dots,x_n)$$a$$a^\to$$a$$\phi$$\let\ot\leftarrow a^\ot$是可到达的。两者均可在NL中计算。$a$

观察到和¯ 一个 ← = 一个→，由于蕴涵图的斜对称性。定义任务$\let\ob\overline \ob a^\to=a^\ot$$\ob a^\ot=a^\to$使$e$

• 如果，则e （a ）$a^\ot>a^\to$ ;$e(a)=1$

• 如果，则e （a ）$a^\ot<a^\to$ ;$e(a)=0$

• 如果，让我是最小的，使得X 我或¯ X我出现在的强连通分量一个（它不能同时，作为φ是可满足的）。穿戴È （一）= 1如果X 我出现，和È （一）$a^\ot=a^\to$$i$$x_i$$\ob x_i$$a$$\phi$$e(a)=1$$x_i$否则将 0。$e(a)=0$

该曲线图的斜对称性意味着，因此这是一个良好定义的分配。此外，对于任何边缘a $e(\ob a)=\ob{e(a)}$蕴涵图中的 b：$a\to b$

• 如果无法从b到达，则a ← < b ←和a → > b →。因此，e （a ）= 1意味着e （b ）$a$$b$$a^\ot<b^\ot$$a^\to>b^\to$$e(a)=1$。$e(b)=1$

• 否则，和b在同一个强连接的组件中，并且a ← = b ←，a → = b →。因此，e （a ）= e （b ）。$a$$b$$a^\ot=b^\ot$$a^\to=b^\to$$e(a)=e(b)$

因此，。$e(\phi)=1$