是否了解此覆盖问题的复杂性？

让 $G=(V,E)$ 成为图。顶点集 $X\subseteq V$ 被称为关键，如果 $X\neq\emptyset$ 而且没有顶点 $V\setminus X$ 恰好与中的一个顶点相邻 $X$ 。问题是找到一个顶点集 $S\subseteq V$ 最小尺寸使得 $S\cap X\neq\emptyset$ 对于每个关键集合 $X$ 。

该问题具有以下谣言传播的解释：顶点 $i$ 将谣言传给邻居 $j$ 当且仅当...的所有其他邻居 $i$ 已经被告知。问题是，我最初必须通知多少个顶点，以确保最后通知每个人。

— 托马斯·卡里诺夫斯基
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这是一个非常简单的解决方案，因此问题可能比指定的条件多。忽略特殊情况

X = V

$X=V$ 而如果

G

$G$ 连接，每个顶点

v

$v$ 有学位

> 1

$>1$ 有一个关键的设置

V ∖ {v}

$V\setminus\{v\}$ 与之相关联，因此仅具有度1顶点的邻居可以位于

S

$S$ 。如果存在这样的顶点，则

G

$G$ 是星形图，其中心（作为单例）是唯一的最小值

S

$S$ 。如果

G

$G$ 未连接，然后查看每个连接的组件。

— Joe Bebel

对于明星

K_{1, n}

$K_{1,n}$ 与

n ⩾ 2

$n\geqslant 2$ 叶子，每套两个叶子都是至关重要的，因此最佳解决方案是

n - 1

$n-1$ 树叶。

— Thomas Kalinowski

哦，我看到了我的错误信息

— Joe Bebel

一个非常有趣的问题，一个小问题：您可能想要求关键集合为非空的（否则就没有）。

S

$S$

— 克劳斯·德拉格2015年

@JoeBebel：决策问题“是否有解决方案集

S

$S$ 最多大小

K

$K$ ？”在NP中。您可以检查是否

S

$S$ 是以下算法的解决方案。虽然有一个顶点

v \in S

$v\in S$ 恰好在邻居身上

w

$w$ 外

S

$S$ ，添加

w

$w$ 至

S

$S$ 。如果

S

$S$ 最终包含所有顶点，那么您的初始集合是一个解，否则您将被困住，而最终集合的补码是关键集合，因此初始

S

$S$ 不是解决方案。

— Thomas Kalinowski

该问题称为传播问题。Aazami在其博士论文中证明，即使图是平面且节点权重在 $\{0,1\}$ 。未加权版本的复杂性似乎是一个未解决的问题。

— 托马斯·卡里诺夫斯基
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