1合3 SAT中的变量出现次数有限

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在1-in-3-SAT复杂度等级中，变量出现次数有限是否有已知结果？

我与Peter Nightingale提出了以下简化的简化方法，但是我想引用一些已知的方法。

这是我们想到的技巧。这表明限制为每个变量3次出现的1-in-3-SAT是NP完成和#P完成的（因为1-in-3-SAT是），而限制为3次出现的3-SAT 在P中

假设我们有超过三个x出现。假设我们需要6。然后，我们将引入5个与x等效的新变量x2至x6以及两个新变量d1和d2，这些变量保证具有以下6个新子句为false：

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

显然，对于第一个i，我们用xi替换了第一个之后的x的每个出现。给出每个xi和d的三个出现。

上面将每个di设置为false，将所有xi设置为相同的值。要看到这一点，x必须为true或false。如果为true，则第一个子句将x2设置为true，将d1设置为false，然后将其传播到各个子句。如果x为false，则最后一个子句将x6设置为false，将d2设置为d2，并将其向上传播。显然很省事，因此可以保留计数。

reference-request sat reductions

— 伊恩·根特
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据我所知，目前的“限制”已经解决：

Stefan Porschen，Tatjana Schmidt，Ewald Speckenmeyer，Andreas Wotzlaw：线性CNF类的XSAT和NAE-SAT。离散应用数学167：1-14（2014）

另请参见施密特论文：线性，混合Horn CNF公式的SAT，XSAT和NAE-SAT的计算复杂性

定理29。XSAT保持NP完全为 - 和 - ，。 $k$ $CNF^l_+$ $k$ $CNF^l$ $k, l \geq 3$

（ - XSAT 正好是1-in-3-SAT，其中每个变量正好出现次） $3$ $CNF^3$ $l=3$

请注意，该定理还证明了强单调情形（）的NP完全性 $CNF_+$

— 马齐奥·德·比亚西（Marzio De Biasi）
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是正（单调）CNF公式的类别。这比单调条件还要强大。好消息。

C N F_{+}

$CNF_+$

— Cyriac Antony

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（我知道这肯定是一个迟来的答案；我正在为未来的读者而写）

文献中有一个永无止境的结果。

立方平面正1合3可满足性在Moore和Robson的简单平铺难题中被证明是NP完全的。（他们说的是“单调”而不是“肯定”。请参见最后添加的注释）

所提到的结果比Schmidt论文中的结果更强，因为这里的公式图被限制为平面。（条件实际上更强：它们给出一种特殊的嵌入，称为“直线嵌入”）

$G_B$ $B=(X,C)$ $X\cup C$ $E:= \{ x_iC_j\ :\$ $x_i$ $C_j$ $\}$ $X$ $C$

$B=(X,C)$ $X$ $C$ $X$ $G_B$ $B$
$X$ $C$

请注意，每个子句恰好包含3个不同的变量，每个变量恰好出现在3个子句中。

有关限制变量出现次数的饱和变量，请参见Tippenhauer的论文《 3-SAT平面及其变体》（2016）。
注意：在本文发表后发现了一些变体。

补充说明： Moore和Robson的结果证明立方平面正三合一可满足性是NP完全的。（也就是说，布尔公式不仅是单调的，而且是正的（即，根本没有否定的文字））。不幸的是，在许多早期的论文中，“单调”一词被用来表示“正”。Moore和Robson的归约没有引入否定的文字。它们的减少来自于Laroche论文中的Planar'Monotone'1合3可满足性Planar 1-in-3可满足性是NP-complete的。我听不懂这篇论文，但是拉罗什最有可能也说“单调”是正面的。即使他不是这个意思，我们也可以使用Mulzer和Rote' 而是源问题。

请参阅此答案以获取cs.se中的问题

— 西里亚克·安东尼
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