数字场筛最坏情况的复杂性是什么？

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给出复合一般数域筛选为的整数分解最好的已知分解算法。它是一种随机算法，我们得到的预期复杂 $N\in\Bbb N$ $N$ 对因子。 $O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$ $N$

我在此随机算法中寻找有关最坏情况复杂度的信息。但是，我无法找到信息。

（1） Number字段筛的最坏情况复杂度是多少？

（2）此处是否也可以去除随机性以给出确定性的次指数算法？

reference-request derandomization factoring average-case-complexity worst-case

Answers:

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$e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

$x$ $x^2 \pmod{n}$ $n$ $n$

所有这些算法的标称最坏情况复杂度是无穷大的：对于二次筛和数字场筛，您可能总是生成相同的，而在椭圆曲线方法中，您可能始终生成相同的椭圆曲线。有很多解决方法，例如并行运行指数时间算法。 $x$

— Yuval Filmus
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由于您也接触过ECM：我们知道一种子表达式随机算法，可以使用ECM 在时间内计算，其中是未知的并且是随机的。您是否估计有多少次对该算法的试验足以获得和，其中？

n! r

$n!r$

O (e x p (\sqrt{\log n}))

$O(exp(\sqrt{\log n}))$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

1

我不知道是什么，但是总的来说，当在ECM中选择参数时，我们在曲线足够平滑的概率和测试每条曲线所需的运行时间之间取得平衡。一般的平衡点是当。因此，预期的试用次数应为。

n! r

$n!r$

p

$p$

T

$T$

1 / p \approx T

$1/p \approx T$

O (\exp \sqrt{\log n})

$O(\exp\sqrt{\log n})$

— Yuval Filmus

n!

$n!$ 是阶乘。获得阶乘的直线复杂度是一个开放的问题。我们知道如何计算，其中在子表达式时间内未知。如果我们知道两个不同的和，我们可以得到如果则在subexp时间内。

n

$n$

n! r

$n!r$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(n! r, n! s) = n!

$(n!r,n!s)=n!$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

我记得算了一下。由于存在问题，我认为我无法得到改善，我也不记得详细信息。

最后一段似乎很奇怪，可以进一步阐明。您是否在谈论一种RNG在不对整个分发空间进行采样的意义上被“破坏”的场景？但是然后并行不会帮上忙吗？因为并行会是相同的“破碎” RNG？还是会并行运行另一种RNG的想法？实际上，分解因数算法的并行复杂度实际上是另外一个复杂的话题，例如，某些并行性可以比其他并行性更好，big-O可能不完全适用，等等

— vzn 2015年

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在过去的几个月中，对数字场筛的版本进行了严格的分析：http : //www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

基本上运行时间的最坏情况是无条件和 GRH下。这不是用于“经典”数字字段筛选器，而是用于略微修改的版本，该版本将更多步骤随机化，以使复杂性分析更加容易。 $L_n(1/3, 2.77)$ $L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

我相信相应的论文仍在审查中。

更新：纸张已出。Jonathan D. Lee和Ramarathnam Venkatesan，“随机数场筛的严格分析”，《数论杂志》 187（2018），pp。92-159，doi：10.1016 / j.jnt.2017.10.019

— ao
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您能否提供更完整的参考资料，以使我们可以了解更多信息，包括标题，作者和出版位置，以便即使链接停止工作，答案仍然有用。

— DW

由于结果仅是最近才宣布，我相信答案中已指出该结果目前正在审查中，因此尚未发布。当发布信息可用时，我将在将来更新我的答案。

— djao

FWIW似乎不在arxiv.org上。但是，作者是Ramarathnam Venkatesan，如果有必要，它可能会有助于将来的搜索。

— 彼得·泰勒

它实际上是两个作家的工作（JD Lee和R.卡特桑）：cmi.ac.in/activities/...

— 萨利

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