易于优化但难以评估

是否存在优化问题的已知自然例子，对于这些问题，生成最佳解决方案要比评估给定候选解决方案的质量容易得多？

为了具体起见，我们可以考虑该形式的多项式时间解优化问题：“给定的x，最小化 ”，其中˚F ：{ 0 ，1 } * × { 0 ，1 } * → Ñ例如＃P-hard。显然存在这样的问题（例如，即使f不可计算，我们对所有x都可能有f （x ，0 ）= 0），但是我正在寻找表现出这种现象的``自然''问题。$f(x, y)$$f:\{0,1\}^*\times\{0,1\}^* \to \mathbb{N}$$f(x, 0) = 0$$x$$f$

在论文[1]中，存在一个问题，即尽管计算目标函数值是NP-hard（尽管评估给定候选解的质量也是NP-hard），但找到最优元素仍需要多项式时间）。

[1] TCECheng，Y.Shafransky，CTNg。证明优化问题的NP难度的另一种方法。欧洲运筹学杂志248（2016）52–58。

雅科夫·沙夫兰斯基

这是一个示例，其中可以在多项式时间内产生一个解，但是评估给定的解是NP- Hard。

输入：正整数（在一元编码）中，用ķ ≤ Ñ。$n,k$$k\leq n$

任务：在最大顶点大小最大为k的约束下，最大化顶点图中的边数。$n$$k$

解决方案：从极值图论知道，最佳图将是Turan图（请参见此处），可以在多项式时间内轻松构造。另一方面，检查给定候选解决方案（给定图）的质量涉及检查其最大派系大小最大为k，这是NP- hard。$T(n,k)$$k$

注意：如果我们只想检查解是否是最优的，那么这很容易，因为Turan图是唯一的最优值，因此将候选图与Turan图进行比较就足够了，后者结构简单。另一方面，如果我们要按照问题的要求评估候选解决方案的质量，即是否可行以及与最优方案相距多远，那么我们必须检查其是否满足最大派别的要求。约束。