有向图同态到定向循环的复杂性

给定固定的有向图（有向图） $D$， COLORING决策问题询问输入图是否与同构。（到同态是到的映射，它保留了弧，也就是说，如果是的弧，则是）$D$$G$$D$$G$$D$$f$$V(G)$$V(D)$$uv$$G$$f(u)f(v)$$D$

COLORING问题的类别与Feder和Vardi所说的 CSP的二分法猜想密切相关（在citeseer上可访问）。$D$

在这个2001年论文（作者的页面上访问，在这里），菲德证明二分法定理时，是一个面向周期（由面向循环我的意思是无向周期，其中每一个边缘由单个弧线取代，可以任意定向） ，换句话说，他表明对于任何定向循环，色积都是多项式时间可解的或NP完全的。$D$$D$$D$

不幸的是，费德（Feder）的分类是非常平凡且不明确的，因为许多情况的复杂性与SAT某些受限制的变体的复杂性有关，后者取决于方向。通过查看论文，我无法确定问题的答案：

问：什么是一个面向周期的最小尺寸，从而$D$$D$-颜色是否完整？

答案可能在文献中的某个地方提出，但我找不到。

编辑：让我详细介绍一下Feder的分类。费德（Feder）指出，必须完成所有NP完全定向的循环，即在两个方向上具有相同数量的弧（因此它具有偶数阶）。然后，考虑由方向引起的“水平”（开始在任意顶点处绕周期；如果弧向右，则上升1，如果弧向左，则下降1）。然后，如果最多有一个“上下运行”，则它是多项式。如果至少有3次这样的“运行”并且该循环是一个核心，则它是NP完整的。（在András的注释示例中，有三个这样的“运行”，但循环不是核心。）最棘手的情况是具有两个“自上而下的运行”的情况。有些很难，有些多项式，Feder将它们与特殊的SAT问题联系起来以获得二分法。

作为一个中间问题：具有三个“自上而下”运行并且是核心的最小定向循环是什么？通过上面的讨论，这样的例子将是NP完全的。

对于中间问题（具有三个顶部运行的核心），该如何处理？

一些表示法：我将在 $\{l,r\}^*$，例如 $llrl$ 对应一个子图 $\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$。等级增加$r$ 弧线和减少 $l$ 弧线，我假设其最小值为 $0$。一些简单的约束是：

• 不能只包含以下内容的运行 $l$s个或仅 $r$s，因为否则存在明显的同态 $D$ 到此运行（映射的每个节点 $D$到同一个级别）。这也意味着最大级别必须至少为$3$。
• 如果最大水平是 $3$，则所有自上而下（从下至上）的运行都将采用以下形式： $llr(lr)^ill$ （分别 $rrl(rl)^irr)$; 再次，从中找到同构不是很难$D$ 运行到最小化 $i$。

但是，为了最大程度 $4$ 有一个解决方案，长度 $36$：考虑 $D$ 由 $(rrrlrrlllrll)^3$。它具有必需的自上而下运行，并且是核心（请参见下文）。由于上述限制，它必须是最小的，因为每次运行仅具有单个“向后”边缘。

为了说服自己这是核心，让我们首先命名顶点（$v_1,\ldots,v_{36}$）。底部（即水平$0$）顶点是 $v_1,v_{13},v_{25}$。任何同态$\varphi$ 从 $D$ 子图必须保留级别，尤其是 $\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$; 对明显的自同构取模$v_i\mapsto v_{i+12}$，考虑一下情况就足够了 $\varphi(v_1)=v_1$。考虑附近$v_1$ 在 $D$ （带有级别注释）：

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

从...开始 $\varphi(v_1)=v_1$， 我们有 $\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$。但是如果$\varphi(v_2)=v_{36}$， 然后 $\varphi(v_3)=v_{35}$，我们没有任何价值 $\varphi(v_4)$。我们得到$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$。下一个$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$， 但对于 $\varphi(v_5)=v_3$ 我们得到 $\varphi(v_6)=v_4$，没有可能的价值 $\varphi(v_7)$。所以$\varphi$ 必须是整个运行的身份 $v_1\to\ldots\to v_7$，并且对其余的运行重复相同的参数，则对所有 $D$。特别是，$\varphi$ 不映射 $D$ 到适当的子图上