“全图超图着色”-已知问题？

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我对以下问题感兴趣：给定X的集合X和X的子集X_1，...，X_n，用k种颜色查找X元素的着色，以使每个X_i中的元素都具有不同的颜色。更具体地说，我正在研究所有X_i的大小为k的情况。在文学中以某种名字知道吗？我正在寻找可着色实例的特征以及复杂性（P vs. NP-hard）的结果。例如，对于k = 2，可着色实例对应于二部图，因此可以在多项式时间内解决该问题。

— 福克·赫夫纳
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如果超图的边界度为D，则可用的最大颜色数为Theta（D / log k）：请参见arxiv.org/abs/1009.5893或arxiv.org/abs/1009.6144

— daveagp 2010年

如果您对使用这些类型的着色的教科书感兴趣，请访问amazon.com/Introduction-Hypergraph-Theory-Vitaly-Voloshin/dp /...。如果您想了解有关超图着色应用的更多信息，请参阅纸research.microsoft.com/en-us/um/people/moscitho/Publications/...

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我相信这在文献中被称为为k均匀超图找到强k着色的问题。这应该是一个不错的起点：[PDF]。

— 詹姆斯·金
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它最多与着色图一样困难，其中是通过将每个变成一个团而形成的。您对所有的大小均为意味着您可以在个顶点上使用集团来覆盖每个边缘。 $k$ $G=(X,E)$ $E$ $X_i$ $X_i$ $k$ $G$ $k$

— 塞尔·加斯珀斯
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确实。这看起来像是Garey / Johnson中《覆盖集团》的一种转换。NP完全固定

，但对一个多项式时间算法

（如福克提及）。

k \geq 3

$k \ge 3$

k \leq 2

$k \le 2$

— Daniel Apon 2010年

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这里建议的

的构造恰好是盖夫曼图。

G

$G$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）2010年

那就对了。

确实是Gaifman图。

G

$G$

— Serge Gaspers 2010年

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至少与着色任意图一样困难。对于每个边您有一个子集 ; 这里每个 $k$ $G = (V,E)$ $e = \{u,v\}$ $X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$ 是一个虚拟元素，在任何其他子集中均不存在。如果可以 -colour，可以很容易地找到所述一组系统（刚刚着色虚设元件贪婪地）的着色，并且反之亦然。 $x(e,j)$ $k$ $G$

— Jukka Suomela
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每个超边都是彩色（或彩虹）的着色也被称为强着色。

请注意，超图的强着色恰好是超图的Gaifman图的正确着色。（超图的Gaifman图（或原始图或2截面）是通过在某些超边中一起出现的任意两个顶点之间添加边而形成的。）

因此，如果您要寻找一致超图的色，则可以等效地寻找的Gaifman图的色。的情况下对应于图着色，这是多项式时间为和NP完全为。显然，是微不足道的，导致无解，其他情况都是NP完全的。 $k$ $r$ $H$ $k$ $H$ $r=2$ $k=2$ $k\ge 3$ $r <2$ $k\lt r$

具有大多数上述定义的有用参考是Vitaly I.Voloshin，《着色混合超图：理论，算法和应用》，Fields Institute Monographs 17，AMS，2002，ISBN 0-8218-2812-6。本书涵盖了较弱的较一般情况，特别着重于结合两种类型的有色边：边（至少具有两个具有相同颜色的顶点）和边（至少具有两个不同顶点的顶点）颜色。 $C$ $D$

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
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对于该问题的NP硬度，您会推荐什么？上面的书？

— domotorp '16

@domotorp不，这本书着重于浅色。参见Jukka的答案。

— 安德拉斯·萨拉蒙