多项式时间减少中的幂运算的有效性

我十天前在这里的 cs.stackexchange 上问了这个问题，但我没有任何答案。

Wang和Crowcroft 在一篇非常有名的论文中（在网络社区中）提出了一些在几个加法/乘法约束下路径计算的完整性结果。第一个问题如下： $\mathsf{NP}$

给定一个有向图和两个重量度量与在边缘限定，对于一个路径，（）。给定两个节点和，问题在于找到从到 st的路径，其中被赋予正数（例如：网络中的延迟约束和成本）。 $G=(V,A)$ $w_1$ $w_2$ $P$ $w_i(P)=\sum_{a\in P}w_i(a)$ $i=1,2$ $s$ $t$ $P$ $s$ $t$ $w_i(P)\leq W_i$ $W_i$

作者通过提供PARTITION的多项式约数来证明此问题是。 $\mathsf{NP}$

然后他们提出了相同的问题，只是度量是乘法的，即。为了证明乘法版本是 -complete，只需将和。 $w'_i(P)=\prod_{a\in P}w'_i(a)$ $\mathsf{NP}$ $w'_i(a)=e^{w_i(a)}$ $W'_i=e^{W_i}$

我对这种减少感到非常困惑。由于和是输入的一部分（我猜是二进制），因此和在中不是多项式和。因此，减少不是多项式。 $W'_i$ $w'_i(a)$ $|w'_i(a)|$ $|W'_i|$ $|w_i(a)|$ $|W_i|$

我是否遗漏了一些琐碎的东西，或者证明中存在缺陷？我的怀疑是关于证明的有效性，即使结果显然是正确的。

论文参考：郑望，乔恩·克劳克罗夫特。支持多媒体应用的服务质量路由。IEEE通讯选定区域杂志14（7）：1228-1234（1996）。

np-hardness reductions

— 拉明
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我已经检查过纸，这肯定是他们证明的缺陷。

— domotorp

该论文被引用了2000多次。这很可怕...

— Lamine

好吧，可能大多数引用都没有使用这个特定的结果，毕竟，它仍然是正确的。有人告诉我例子，他们不得不以错误的结果为依据撤回几篇论文。而且，这种求幂技巧非常标准，以至于大多数人甚至都不会考虑它并意识到自己做了什么，以至于输入的长度发生了变化。

— domotorp

本文中提供的证据不是结论性的。

但是，陈述的结果本身是正确的。可以通过稍微改变减少量以及使用SUBSET PRODUCT而不是SUBSET SUM轻松得出它。

SUBSET PRODUCT问题的有用链接：https ://cs.stackexchange.com/questions/7907/is-the-subset-product-problem-np-complete

— 高莫
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