SAT是上下文无关的语言吗？

我正在考虑所有可满足的命题逻辑公式SAT的语言（为确保它具有有限的字母，我们将以某种合适的方式对命题字母进行编码[编辑：答复指出，在各种编码，因此需要更具体-参见下面的结论]）。我的简单问题是

是SAT上下文无关的语言？

我的第一个猜测是，今天（2017年初）的答案应该是“没人知道，因为这与复杂性理论中尚未解决的问题有关”。但是，这也不是真的（请参阅下面的答案），尽管也不是完全错误的。这是我们所知道的事情的简短摘要（从一些显而易见的事情开始）。

1. SAT不是常规的（由于命中括号，甚至命题逻辑的语法也不常规）
2. SAT是上下文相关的（不难为其提供LBA）
3. SAT是NP完全的（Cook / Levin），尤其是由多项式时间内的不确定TM决定。
4. SAT也可以通过单向非确定性堆栈自动机（1-NSA）进行识别（请参阅WC Rounds，中级语言的识别复杂性，《交换与自动机理论》，1973，145-158 http://dx.doi.org/ 10.1109 / SWAT.1973.5）
5. 与上下文无关的语言的单词问题具有其自己的复杂度类$\textbf{CFL}$（请参阅https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl）
6. ，其中 LOGCFL是类的问题LOGSPACE还原为 CFL（见https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl）。据了解， NL ⊆ LOGCFL。$\textbf{CFL}\subseteq\textbf{LOGCFL}\subseteq\textbf{AC}^{\textbf{1}}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NL}\subseteq\textbf{LOGCFL}$
7. $\textbf{NL}\subsetneq\textbf{NP}$NC 1 ⊊ PH NP LOGCFL $\textbf{NL}=\textbf{NP}$$\textbf{NC}^{\textbf{1}}\subsetneq\textbf{PH}$$\textbf{NP}$$\textbf{LOGCFL}$$\textbf{LOGCFL}$

但是，最后一点仍然可能使SAT不在。通常，我对与层次结构之间的关系了解不多，这可能有助于阐明我的问题的认知状态。灯节能灯$\textbf{CFL}$$\textbf{CFL}$$\textbf{NC}$

备注（在看到一些初始答案之后）：我并不期望该公式为合取范式（这不会对答案的本质造成影响，并且由于CNF也是一个公式，因此通常仍然适用论点。但是声称问题的常量数版本是常规的失败，因为语法需要括号。）

结论：与我的复杂性理论启发的猜测相反，我们可以直接证明SAT不是上下文无关的。因此，情况是：

1. 众所周知，SAT是不是上下文无关的（换句话说：SAT不在），这种假设是假设人们使用公式的“直接”编码，其中命题变量由二进制数字标识（还有一些进一步的符号用于运算符和分隔符）。$\textbf{CFL}$
2. 尚不知道SAT是否位于，但“大多数专家认为”并非如此，因为这意味着。这也意味着未知SAT的其他“合理”编码是否与上下文无关（假设对于NP难题，我们认为logspace是可接受的编码工作）。P = $\textbf{LOGCFL}$$\textbf{P}=\textbf{NP}$

请注意，这两点并不意味着。这可以通过显示中的语言（因此在）不是上下文无关的语言（例如）直接显示出来。大号LOGCFL 一个Ñ b Ñ Ç $\textbf{CFL}\subsetneq\textbf{LOGCFL}$$\textbf{L}$$\textbf{LOGCFL}$$a^nb^nc^n$

只是使用多种已知结果的替代证明。

假设：

• 变量用正则表达式$d = (+|-)1(0|1)^*$
• 并且用于表示CNF公式的（常规）语言（超过为： ; 请注意，所有有效的CNF公式，直到变量重命名为止。小号= { d +（∨ d + ）*（∧ （d +（∨ d + ）*））* } $\Sigma = \{0,1,+,-,\land,\lor\})$$S = \{ d^+ (\lor d^+)^*(\land (d^+ (\lor d^+)^*))^* \}$$S$

例如编写为：（运算符的优先级高于） 。小号φ = + 1 ∨ + 10 ∧ - 11 ∈ 小号∨ $\varphi = (x_1 \lor x_2) \land -x_3$$s_{\varphi} = +1 \lor +10 \land -11 \in S$$\lor$$\land$

假设 st对应的公式是可满足的是CF。φ $L = \{ s_{\varphi} \in S \, \mid$$\varphi$$\}$

如果我们将其与常规语言相交：我们仍然会获得CF语言。我们还可以应用同态：，并且语言仍然是CF。$R = \{ +1^a \land -1^b \land -1^c \mid a,b,c > 0 \}$$h(+) = \epsilon$$h(-) = \epsilon$

但是我们得到的语言是：，因为如果则“源”公式为这是满足的（与相似）。但是是一种众所周知的非CF语言矛盾。$L' = \{ 1^a \land 1^b \land 1^c \mid a \neq b, a \neq c\}$$a=b$$+x_a \land -x_a \land -x_b$$a=c$$L'$$\Rightarrow$

如果变量的数量是有限的，那么可满足的连词的数量也是有限的，因此您的SAT语言是有限的（因此是规则的）。[编辑：此声明采用CNFSAT表格。]

否则，让我们同意编码式诸如由。我们将使用奥格登引理 证明所有可满足的连接词的语言不是上下文无关的。$(x_{17}\vee \neg x_{21})\wedge (x_{1}\vee x_{2}\vee x_3)$$(17+\tilde{} 21)(1+2+3)$

令为奥格登引理中的“标记”常量，并考虑一个饱和表达式其第一个子句由 -即的编码，其中是由组成的十进制数那些。我们纪念的那些，然后要求的适当分解所有的泵酒（见奥格登引理的结论）也是满足的。但是我们可以通过要求不包含子句来轻松地阻止此，其中是比短的序列w （1 p）（x N）N p p 1 p w x q q 1 p w x q$p$$w$$(1^p)$$(x_N)$$N$$p$$p$$1^p$$w$$x_q$$q$$1$$p$是可满足的-例如，通过确保所有其他子句对每个取。这意味着失去了“负泵浦”属性，并且我们得出该语言不是上下文无关的结论。[注意：我忽略了泵送产生格式错误的字符串的琐碎情况。]$w$$x_q$$w$