减少不同密度的语言之间的距离？

语言的密度是一个函数定义为假设和是某种有限字母上的语言，多对数的空间缩小为，并且不在 $X$ $d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

d_{X} (n) = | {x \in X ∣ | x | \leq n} | .

$d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

L = DSPACE (\log n)

$\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)$ 。功能

被多项式相关的，如果有多项式

和

使得对于所有

，

和

。

f, g : N \to N

$f,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

p

$p$

q

$q$

n \in N

$n\in \mathbb{N}$

f (n) \leq p (g (n))

$f(n) \le p(g(n))$

g (n) \leq q (f (n))

$g(n) \le q(f(n))$

如果的密度与的密度不是多项式相关的，那么从到对数空间会减小吗？ $A$ $B$ $B$ $A$

背景

我希望答案是否定的，但目前无法显示。

显然，如果在，则没有从到对数空间减少。因此，有一些示例可以提供明确的否定答案。 $A$ $\mathsf{L}$ $B$ $A$

我考虑第一过其中的情况下是一些硬语言，通过吹入在孔获得的通过取，对于一些间隙语言包含长度的所有单词对于某些集（参见施密特1985和还里根和1997沃尔默）。这保证了从到的小幅减少。间隙语言通常在 $B$ $A$ $B$ $A = B\cap G$ $G$ $n \in S_G$ $S_G \subseteq \mathbb{N}$ $A$ $B$ $G$ 。这确保了和的密度不是多项式相关的。但是，不能保证在语言中出现漏洞总是会导致其结构太少而无法成为从减少的目标的语言。（术语“打洞”来自Downey和Fortnow2003。）密度上的差异可能足以保证这一点，但是我还没有马上知道如何做到。 $S_G$ $A$ $B$ $B$

另一个示例是是硬语言和的混合体。首先创建一个卡比语言由一些语言相交带间隙语言。然后，将仅包含在确定间隙语言的一组大小的间隔中的大小的实例。现在创建通过混合一些硬语言中的空白，通过取的联合和的交叉点与的补。如果 $B$ $A$ $A\not\in\mathsf{L}$ $C \not\in \textsf{L}$ $G$ $A$ $S_G$ $B$ $A$ $D$ $A$ $D$ $G$ $D$ 是足够硬相比，如是 -hard而，然后通过空间层次定理不可能有log-空间规约从到。然后似乎有可能将其扩展为显示从到没有日志空间减少。 $C$ $D$ $\textsf{2EXPSPACE}$ $C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$ $D$ $A$ $B$ $A$

这仍然留下比难但“不过分”的情况，例如，将设为SAT，将设为STCON，或者将设为QBF-SAT，将设为SAT。为了得到一个结果，一个可能要承担为STCON / SAT或的SAT / QBF-SAT，但它不是立即清除我如何使用这些假设。 $D$ $C$ $D$ $C$ $D$ $C$ $\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory reductions structural-complexity

— 安德拉斯·萨拉蒙（AndrásSalamon）
source

那么

的任何一种语言的密度为

而

由最后一位为0的所有字符串组成，将最后一位为1且所有前

位为A中的字符串的所有字符串并集？

A

$A$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

B

$B$

n - 1

$n-1$

— daniello

我认为daniello的评论回答了这个问题。通常，即使您在两个方向上均进行了多减一减，多减一也不能告诉您密度。双向的1-1约简和1-1约简（甚至更强的p同构）给出了密度之间的关系（即激发Mahaney定理的Berman-Hartmanis同构猜想；实际上，我认为BH同构可能是首先看待密度的主要动机...）

— Joshua Grochow

$A$ $L$ $A$ $2^{o(n)}$

B = {s \circ 1 | s \in {0, 1}^{*}} \cup {s \circ 0 | s \in A} .

$B = \{s \circ 1 | s \in \{0,1\}^*\} \cup \{s \circ 0 | s \in A\}.$

\circ

$\circ$

B

$B$

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

0

$0$

B

$B$

A

$A$

1

$1$

0

$0$

B \notin L

$B \notin L$

— 达涅洛
source

B \notin L

$B \not\in \textsf{L}$

A

$A$

A

$A$

@AndrásSalamon，感谢您指出来，编辑了答案以捕获评论。

— daniello