向汉密尔顿路径添加匹配项以减少给定顶点对之间的最大距离

以下问题的复杂性是什么？

输入：

• 一个汉弥尔顿路径在 ķ Ñ$H$$K_n$
• 顶点对的子集$R \subseteq [n]^2$
• 正整数$k$

查询：是否有一个匹配 ，使得对于每一个（v ，Û ）∈ [R ，d G ^（v ，Û ）≤ ķ？ （其中，G ^ = （[ Ñ ] ，中号∪ ħ ））$M$$(v,u) \in R$$d_G(v,u) \leq k$
$G = ([n], M\cup H)$

我一直在和朋友讨论这个问题。我的朋友认为问题出在多项式时间内。我认为它是NP完整的。

这个答案是不正确的。

你的朋友是对的。您的问题（由Sasho解释）对匹配的基数没有任何限制。因此，选择C作为R中的对之间的匹配。那么对于任何正整数k，R中每对之间的距离小于k。$C$$C$$R$$k$$R$$k$

如果您强制路径包含来自匹配和路径P的边，那么您的问题将变得很有趣。$C$$P$

更新：下面的答案是不正确的，因为我错误地认为哈密顿路径在任意图中，而不是在。我不删除它，也许我可以修复它，否则它会为其他答案提供一些提示。$K_n$

我认为这是NP完整的。这是3SAT的一种非常非正式/快速减少想法

对于每个变量添加一个带有以下内容的“变量小工具”：$x_i$

• 三个节点$X_i, +X_i, -X_i$
• 两个可变边和（X i，− X i$(X_i,+X_i)$$(X_i,-X_i)$

添加一个源节点并将其连接到所有变量X i。$S$$X_i$

对于每个子句添加节点ç Ĵ并将其连接到相应的变量+ X 我或- X 我形成子句。$C_j$$C_j$$+X_i$$-X_i$

下图表示：$(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

该组（即必须被链接的节点）包含 （小号，Ç 1），（小号，Ç 2），。。$R$$(S, C_1), (S,C_2), ...$

简单的路径应包括除了可变边缘所有的“BLUE”边缘（X 我，+ X 我）和（X 我，- X 我）（在上面的蓝色边缘的图像表示的边缘，我们包括在P）。$P$$(X_i, +X_i)$$(X_i, -X_i)$$P$

此时，当且仅当从到每个子句节点C j的最短路径不大于3时，初始公式才可满足。实际上，要从S中获得一个子句，我们必须遍历至少一个变量X i：S → X i → ± X i → C j。因此，我们必须遍历两个边之一： X i → + X i或X i → − X i）并将其包含在$S$$C_j$$S$$X_i$$S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$$X_i \to +X_i$$X_i \to -X_i)$$C$（由于构造，它不是的一部分）。但是不能同时包含两者，因为它们共享一个顶点。$P$

但是我们不确定是否可以构建包含所有蓝色边缘的简单路径，因为某些节点具有多个入射蓝色边缘。$P$

为了解决这个问题，我们将每个节点替换为多个蓝色入射边缘，并用一棵仅包含成对的蓝色入射边缘的树替换为，将它们分开的边缘也应包含在C中以到达子句节点：$P$$C$

原始图变为：

$K$$C_j$$S$

$C$

$P$