拉姆西定理的扩展：单色但多样

作为我之前的问题（由张显治解决）的后续，这是另一种尝试找到拉姆西定理的适当推广。（您无需阅读上一个问题；该帖子是独立的。）

参数：整数 $1 \ll d \ll k \ll n$ 被给予，然后 $N$选择足够大。术语：$m$-subset是大小的子集 $m$。

让 $B = \{1,2,...,N\}$。对于每个$k$-子集 $S \subset B$，分配颜色 $f(S) \in \{0,1\}$。

定义：

• $X \subset B$如果是单色的$f(S) = f(S')$ 对所有人 $k$-子集 $S \subset X$ 和 $S' \subset X$。
• $X \subset B$如果是多样化的$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$ 这样 $x_i < x_{i+1}$ 和 $x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$ 对所有人 $i$。

例如，如果 $d = 10$， 然后 $\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$ 多样但 $\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$不是。注意，多样化集合的子集不一定是多样化的。

现在拉姆西定理说，无论我们如何选择 $f$，有一个单色 $n$-子集 $X \subset B$。显然，找到多样化的产品是微不足道的$n$-子集 $X \subset B$。

问题：是否总是存在多样化和单色的 $n$-子集 $X \subset B$？

编辑：张显治（Chising-Chih Chang）表明，该索赔是虚假的$d$但是复合呢 $d$？在我的应用程序中，我可以自由选择$d \ll k \ll n$，只要我可以使它们任意大即可。它们可以是素数的幂，素数的乘积或使要求成立的任何必要条件。

首先我要说：这个问题真的很有趣！在这里，我简要描述了我以前的方法失败的原因，正如本元文章中有关错误答案的建议所建议的。

• 我的第一个尝试是尝试构造与k子集的总集相关的着色，该着色使所有n子集都不单色。引理1仍然可用；但是引理2是错误的，通过观察如果k和d是相关的素数，则一个n-子集$\{1,3,1,3, \ldots\}$ @Jukka建议的模块d中的一个反例。

• 第二次尝试是对定理的证明。通过计算不同和单色的比率$n$-子集，我们希望单色的数量将超过非多元的数量。但是@domotorp观察到这是我计算中的一个错误：非多元的比率不会接近零；它收敛到大约$n/d$，明显大于 $R(n,n;k)^{-n}$。

• 第三种方法返回第一种方法，它表明对于超弱参数集（$n > k+d-1$ 和 $d \mid k$），则该定理是错误的。我们在加法组合中使用了一个著名的引理：EGZ定理。

第四次尝试是由于@domotorp 的回答；这既聪明又鼓舞人心，我将尝试修改他的证明以处理所有参数。但是他的方法仍然很优雅，我完全赞赏这种简单的方法。

多样化的n集包含至少一个k子集，其中至少包含 $k-1$“在mod类之间切换”；确切地说，让$X = x_1,\ldots,x_n$ 成为一个多样化的n-set $S^* = x_1,\ldots,x_k$，如果定义了一个开关$x_i$ 和 $x_{i+1}$属于不同的mod-d类。我们有k-1个开关用于$S^*$。

设k个子集 $S$如果是红色$S$最多具有k-2个开关；否则它是蓝色的。在上一段中，我们已经有一个蓝色的，现在我们证明$n > k+d+1$，有一个红色 $S$ 在任何n集中 $X$。以来$n > d$，有两个数字 $x_i,x_j$ 在同一个mod-d类中 $j-i \leq d-1$; 由于$n > k+d+1$，至少有k-2个元素 $x_k$ 在 $X$ 与 $k<i$ 要么 $k>j$。我们可以构造一个k子集$S$ 与 $x_i$ 旁边的 $x_j$，最多只能切换k-2次。从而$S$ 是红色的k子集。

我可能误解了您的问题，但是如果没有，我认为这是错误的。用红色为所有成员均模为全的k集着色，用蓝色为其他k集着色。如果n> kd，则任何n集都必须包含一个k集，其成员均为d模，因此为红色。另一方面，如果k集包含不同n集的两个连续元素，则它为蓝色。