NP-Hardness正交堆积问题的特例

令为一组维矩形形状。对于和，描述了维度中的长度。容器使用相同的符号。的维正交装箱问题（OPP-）是决定是否配合到容器不重叠。从形式上来讲，问题在于找出是否存在函数，使得$V$$D$$d \in \{1,...,D\}$$v \in V$$w_d(v) \in \mathbb{Q}^{+}$$v$$d$$C$$D$$D$$V$$C$$\forall d \in \{1,...,D\}$$f_d:V\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$$\forall v \in V, f_d(v)+w_d(v) \leq w_d(C)$和，，。$\forall v_1,v_2 \in V$$(v_1 \neq v_2)$$[f_d(v_1),f_d(v_1)+w_d(v_1)) \cap [f_d(v_2),f_d(v_2)+w_d(v_2)) = \emptyset$

问题是NP完全的（请参见Fekete SP，Schepers J.“关于高维包装I：建模”。技术报告97-288，zuKöln大学，1997年）。即使，问题也是NP完全的。我想知道，是否有一定数量的物品类型（即每个尺寸的大小）的正交包装问题是否仍是NP完全的。直到现在，我在一些关于将正方形打包成正方形的NP完全性的论文中发现了一个结果（请参见JOSEPH YT。LEUNG，TOMMY W. TAM和CS WONG，“将正方形打包成正方形”，《并行与分布式计算杂志》， 1990年11月，第10卷第3期）已经是一个限制，但是我仍然不知道当限制项目类型的数量时会发生什么。$D=2$

谢谢您的回答，

我认为Klaus Jansen和Roberto Solis-Oba的论文“ 一种用于对象数恒定的切削问题的OPT + 1算法 ”对您的问题有部分答案。当不同对象类型的数量恒定且定义如下时，它们会考虑您的问题的特殊情况（称为切削问题）：

在切削问题中，我们得到对象类型的集合，其中类型对象具有正整数长度。给定一个在有限集合箱，每个的整数容量，问题是包装的一组的对象到以这样的方式，该箱的容量不被超过仓的最小可能数目; 在中，对于所有有个类型为对象。$T = \{T_1,T_2,\dots,T_d\}$$T_i$$p_i$$\beta$$\mathcal{O}$$n$$\mathcal{O}$$n_i$$T_i$$i =1,\dots,d$

作者声称

对于每个固定值，切削量问题是否可以在多项式时间内解决是未知的。$d$

当为固定值时，他们提出了近似多项式时间算法。$OPT+1$$d$

由于尚未证明这种特殊情况在，因此可以证明您的问题是 hard。$P$$NP$

附录：它是已知的以两个对象类型（壳体）是多项式可解，但对于，已知只有 -近似。$d=2$$d=3$$OPT+1$