LP的最小最大解

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如今，线性编程当然已广为人知。我们有许多工作描述了可行解的结构和最优解的结构。我们拥有强大的对偶性，多重时间算法等。

但是，关于LP的最小极大解又有什么了解呢？或等效地，最大最小解决方案？

（这不是一个真正的研究问题，但是也许我们可以在假期中使用一些技术性不强的东西。有待研究的问题，但我只发现了一些零星的论文提到了这个问题。）

为简单起见，让我们集中讨论打包和覆盖LP。在包装的LP，我们都给出了非负矩阵。一种载体，是可行的，如果和。我们说是最大的，如果可行的话，我们不能贪婪地增加任何分量。也就是说，如果和，则是不可行的。最后，是一个 $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ 最小最大解，如果它使所有最大解中的目标函数最小。 $\sum_i x_i$

（您可以类似地定义覆盖LP的最大最小解决方案。）

最小最大解的空间是什么样的？我们如何找到这样的解决方案？找到这样的解决方案有多困难？我们如何近似这样的解决方案？谁来研究这些东西，什么才是正确的术语？

这些问题最初是由边缘控制集和最小最大匹配引起的。众所周知（而且很容易看出），最小最大匹配是最小边沿支配集；相反，给定一个最小的边控制集，很容易构造一个最小的最大匹配。

因此，从本质上讲，它们是相同的问题。这两个问题都是NP难题和APX难题。有一个简单的2近似算法：任何最大匹配。

但是，它们的“自然” LP松弛看起来非常不同。如果您遇到边缘支配集问题并形成自然的LP松弛，那么您将获得覆盖LP。但是，如果您遇到寻找最小最大匹配的问题，并尝试提出LP松弛，那么您会得到什么呢？好吧，分数匹配当然是装箱LP的可行解决方案。那么最大分数匹配是这种LP的最大解，因此最小最大分数匹配是这种LP的最小最大解。:)

— Jukka Suomela
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您将“最大”定义为“我们无法贪婪地增加任何分量”，这听起来很像纳什均衡。这里与博弈论有隐藏的联系吗？

— 德里克·斯托利

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

A x = 1

$Ax = 1$

您是否熟悉瓶颈线性程序，其中minimax方面全都属于目标函数？

— Mike Spivey

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最大值和最小值：它们是帕累托最优的一种。
复杂性：我认为找到最小的最大解是NP难的。我会减少二部图中的独立支配问题（又称最小最大独立集问题）。已知该问题（更确切地说是其决策版本）是NP完全的（DG Corneil和Y. Perl，在理想图中的聚类和控制。离散应用数学9（1984）27-39）。由于二部图是理想的，因此其独立的集合多面体由集团不等式确定，二部图中的集团数是多项式。因此，我们可以为独立集合多态性显式地写下一个线性不等式Ax <= 1，x> = 0的系统。极端解对应于独立集，而极端最大解对应于最大独立集。

— 冈本佳男
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$P$ $A(P)$ $P$

$STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

可悲的是，我很难找到透明的解释，但是我绝不是多面体专家。希望您会发现它与手头的问题有关。

— 安德鲁·金
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