Tardos函数反驳Blum的索赔

在该线程中，诺贝特·布鲁姆（Norbet Blum）尝试的证明被简洁地驳斥，因为他注意到Tardos函数是定理6的反例。 $P \neq NP$

定理6：设是任何单调布尔函数。假设有一个CNF-DNF逼近器，可用来证明的下限。然后也可以用来证明下界。 $f \in \mathcal{B}_n$ $\mathcal{A}$ $C_m(f)$ $\mathcal{A}$ $C_{st}(f)$

这是我的问题：Tardos函数不是布尔函数，那么它如何满足定理6的假设？

在本文中，他们讨论了函数的复杂性，该函数通常不是单调布尔函数，因为增加的边会使变大，从而使 true时，输入中的较少。函数通常不会在上计算，而在上计算。 $\varphi(X) \leq f(v)$ $\varphi(X)$ $\varphi(X) \leq f(v)$ $1$ $\varphi(X) \geq f(v)$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$

实际上，测试集和的选择是精确的，因此以单调性在上计算和在上计算意味着您在精确计算CLIQUE中的功能（它们定义了输入格中和的边界），因此这些言论暗示Tardos函数与CLIQUE相同，这显然是不正确的。 $T_1$ $T_0$ $1$ $T_1$ $0$ $T_0$ $1$ $0$

然而，如此之多的人-以及那些知识渊博的人-都声称Tardos职能提供了直接的反例，因此肯定有我所缺少的东西。您能为那些我们感兴趣的人提供详细的解释或证明吗？

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— 用户名
source

约克纳的书，第272页（定理9.28之前）是一个很好的资料。鉴于（非布尔）函数，考虑布尔函数其的阈值：然后将应用结果。

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_\phi$

ϕ

$\phi$

f_{ϕ} (G) = {\begin{cases} 1 & if ϕ (G) \geq \sqrt{n} \\ 0 & otherwise \end{cases}

$f_\phi(G) = \begin{cases} 1 & \text{if } \phi(G) \geq \sqrt{n}\\ 0&\text {otherwise}\end{cases}$

— Clement C.

因此，明确地说，您告诉我，在大小为类群上，值为，而在由适当的引起的个顶点的图上，值为颜色？

f_{ϕ} (G)

$f_\phi(G)$

1

$1$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

0

$0$

n

$n$

⌊ \sqrt{n} - 1 ⌋

$\lfloor \sqrt{n}-1 \rfloor$

— user144527

当然，任何都不适用。但是Tardos函数是基于满足的单调图函数。因此，对进行阈值设置完全符合您的要求。请参见此处第9.8节的结尾。

ϕ

$\phi$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

ω (G) \leq ϕ (G) \leq χ (G)

$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$

f_{ϕ}

$f_{\phi}$

ϕ

$\phi$

— Stasys

对。顺便说一句，我实际上不明白为什么人们会否决您的问题（考虑到围绕“证明”的所有杂音）。现在是P！= NP声明转折的作者：解释为什么“证明”不适用于Tardos的功能。指向纸张的X页和Y行。提示：该错误将逼近近似值期间引入的错误数（取反会消灭许多以前的“有效”项）。否则（无解释）=无“证明”。

— Stasys

@Stasys，您的第一个评论可以作为答案。

— 卡夫

因此，这些言论暗示Tardos函数与CLIQUE相同。 $f$

简短答案-不。

它只是一个单调的 “类似clique”：接受所有 -clique，并拒绝所有完整 -partite图。它可以，但是，接受一些图表拒绝CLIQUE：图与但（所谓的“非完美”的图）。该纸通过Grötschel，Lovász和斯赫雷弗意味着具有多项式大小的非单调电路。但是，根据“证明”中的定理6 ，任何单调集团样的布尔函数都需要超多项式大小的非单调电路。因此，这两篇论文之一必须 $k$ $(k-1)$ $G$ $\omega(G) < k$ $\chi(G)\geq k$ $f$ 是错的。GLS-1981论文已经使用了35年以上...

Tardos的工作如下。她从图形函数，其中是著名的Lovász'theta函数。基本事实是，数字夹在集团数和色数之间：。然后，她使用了可以在多项式时间内近似的事实。基于此，她定义了具有以下属性的图形函数： $\varphi(G):=\vartheta(\overline{G})$ $\vartheta$ $\varphi(G)$ $\omega(G)\leq \varphi(G)\leq \chi(G)$ $\vartheta(G)$ $\phi(G)$

的值可以在多项式时间（以数目来计算顶点）。 $\phi(G)$ $n$
$\phi$ 是单调的：添加边缘只会增加其值。
$\omega(G)\leq \phi(G)\leq \chi(G)$ 对于所有图都成立。 $G$

然后（如Clement C.所述），她将所需的单调布尔函数定义为： iff。通过（1），该函数具有一个多项式大小的（非单调）电路。通过（2），是单调布尔函数。通过（3），接受所有 -clique，并拒绝所有完整 -partite图。 $f$ $f(G)=1$ $\phi(G)\geq k$ $f$ $f$ $k$ $(k-1)$

有关详细技术信息，请参见此处。

— Stasys
source

此处免费提供GLS-1981论文。反过来，本文也基于Khachiyan-1979椭球纸。因此，（至少）这三篇论文之一必定是错误的？

— TobiasMüller17年

@Tobias：好吧，我们非常确定这两篇> 35篇旧论文是正确的（在讲座中多次转载，已经有人发现了错误）。当前“证明”的问题在于它是“通过构造的”，而不是“通过论据的”（如上述两篇论文所述）。然后，该死的很难指向“构造”失败的特定位置。尤其是当“构造” 如此不精确时。这就是为什么我认为现在指向这个地方（Tardos没有经过他的建设）才是作者的责任，而不是我们的责任

— 。– Stasys