结构演算：将表达压缩到最小形式

我知道构造演算正在高度规范化，这意味着每个表达式都具有不能被beta，eta进一步简化的法线。因此，实际上，这是计算与原始表达式相同值的最有效表达式。

但是在某些情况下，规范化可能会将一个小表达式缩减为一个大表达式（就大小而言）。

有最小形式的表达式吗？以最小的尺寸计算相同值的表单。

换句话说，代替了节省时间的范式，而是节省了空间的范式。

我们认为“相同的价值”有一点自由。让我表明，如果“相同的值”表示“观察上等效”，则没有这样的算法。我将使用构造微积分的一部分，即Gödel的System T（简单类型的微积分，自然数和它们的原始递归），因此该论点已经适用于弱得多的微积分。$\lambda$

给定一个号码，让¯ Ñ是代表它相应的标号，即Ñ应用小号ü Ç Ç到0。给定一个图灵mahcine 中号，让⌈ 中号⌉是数字编码中号以某种合理的方式。$n$$\overline{n}$$n$$\mathtt{succ}$$0$$M$$\lceil M \rceil$$M$

再说说两个封闭条件的等价物，写牛逼≃ ü，当所有ñ ∈ ñ，$t, u : \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$$t \simeq u$$n \in \mathbb{N}$和$t \, \overline{n}$既正常化相同数字（它们归到一个数字，因为我们是在一个强烈正火claculus）。$s \, \overline{n}$

假设我们有一个算法，给出给定类型任何封闭项，都会计算出最小等效项。然后，我们可以按以下方式解决暂停问题。$\mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$

有一个术语，使得对于所有Ñ ∈ Ñ和所有图灵机中号， 小号（⌈ 中号⌉ ，¯ Ñ）以归一化¯ 1如果Ť内暂停Ñ步骤，它归一化到¯ 0否则。这是众所周知的，因为针对固定数量的步骤n的图灵机的仿真是原始递归的。$S : \mathtt{nat} \times \mathtt{nat} \to \mathtt{nat}$$n \in \mathbb{N}$$M$$S (\lceil M \rceil, \overline{n})$$\overline{1}$$T$$n$$\overline{0}$$n$

有有限多个闭合术语这是最小的术语相当于λ X ：Ñ 一吨$Z_1, \ldots, Z_k$。我们最小化算法返回他们中的一个，当我们给它 λ X ：ñ 一个牛逼$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$，并且它甚至可以是该情况下 λ X ：Ñ 一吨$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$实际上， 0是唯一这样的最小项。所有这一切并不重要，唯一重要的是，有穷个最小的术语，其相当于 λ X ：ñ 一个牛逼$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$。$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$

现在，考虑任何机器，考虑术语 ü ：= λ X ：ñ 一个牛逼$M$ 如果中号永远运行然后 ü ¯ Ñ规格化到 ¯ 0为每 Ñ和相当于 λ X ：Ñ 一吨

$$u \mathbin{{:}{=}} \lambda x : \mathtt{nat} .\, S (\lceil M \rceil, x)$$ $M$$u \overline{n}$$\overline{0}$$n$。为了确定 M是否永远运行，我们将 u输入到最小化算法中，并检查算法是否返回 Z 1，... ，Z k之一。如果是这样，则 M永远运行。如果没有，则停止。（请注意：该算法无需自行计算 Z 1，… ，Z k，这些可以硬编码到算法中。）$\lambda x : \mathtt{nat} .\, 0$$M$$u$$Z_1, \ldots, Z_k$$M$$Z_1, \ldots, Z_k$

知道一个适用于较弱等价概念（例如仅是约性）的论点会很高兴。$\beta$

$$(\lambda x:T.C\ x\ x)\ u\rightarrow_\beta C\ u\ u$$ $u$

从这个意义上讲，已知如何以最佳方式减少未键入的词语，并尽可能减少共享。对此进行了解释：https：//stackoverflow.com/a/41737550/2059388，相关的引文是J. Lamping的最佳Lambda微积分减少算法。毫无疑问，无类型演算的定理可以扩展到CIC。

另一个相关的问题是执行类型转换时，或者实际上如何执行有效转换时可以擦除的类型信息量，这是一个活跃的研究领域，请参见例如Mishra-Linger的论文。

让我坚持科迪回答所涉及的观点。

$\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$

$M$$f$

$$M\,\overline{x}\to^{l(|x|)}\overline{f(x)}$$ $l(|x|)$$l(n)=O(n^k)$$k$$f$

$\lambda$$\Theta(n)$$\Theta(2^n)$$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\lambda$

可以使用相同的语法来证明，与幼稚的直觉相反，上述问题的答案是肯定的：实际上，即使大小爆炸，正常形式的最左外步骤的数量也是合理的成本度量，因为实际上，存在另一种表示相同计算（使用线性显式替换）的方式，其中：

1. 尺寸也不会爆炸;
2. $\lambda$

Accattoli和Dal Lago的论文“ Beta Reduction是不变的，的确如此”（LICS 2014，然后我认为还有更新的期刊版本）都对此进行了解释。

$\lambda$