在我们知道BPP在于P / poly之后，BPP与P是否是一个真正的问题？

我们知道（大约40年，感谢Adleman，Bennet和Gill）包容性BPP ＆SubsetEqual; ñ $\subseteq$ P / poly，甚至更强大的BPP / poly P / poly仍然成立。“ / poly”表示我们工作不均匀（每个输入长度单独的电路），而没有此“ / poly”的P表示我们对于所有可能的输入长度拥有一台图灵机，甚至比例如 =到下一个“大爆炸”的秒数。$\subseteq$ $n$$n$$n$

问题1：在知道BPP P / poly 后，BPP = P的证明（或反证明）对我们的知识有何贡献？ $\subseteq$

在“新”下，我指的是任何真正令人惊讶的后果，例如其他复杂性类别的崩溃/分离。将此与NP P / poly 的证明/取消证明所带来的后果进行比较。 $\subseteq$

[增加了2017年8月10日]：有一个人惊人的结果BPP P将是，如图Impagliazzo和Wigderson， 所有的问题（！） é = DTIME将有大小为。感谢Ryan召回此结果。$\not\subseteq$ $[2^{O(n)}]$$2^{o(n)}$

问题2：为什么我们不能 沿着与BPP / poly P / poly 的证明相似的方式证明 BPP = P？ $\subseteq$

一个“显而易见”的障碍是有限与无限域问题：布尔电路工作在有限域，而图灵机工作在整个集合的 -任意长度的字符串。因此，要对概率布尔电路进行非随机化，只需采取概率电路的大多数独立副本，并应用切尔诺夫不等式和联合约束即可。当然，在无限范围内，这个简单的多数规则将不起作用。 $\{0,1\}^*$$0$$1$

但是，这（无限域）是真正的“障碍”吗？通过使用统计学习理论（VC维）的结果，我们已经可以证明 BPP / poly P / poly也适用于在无限域内工作的电路，例如算术电路（在所有实数上工作）；参见例如Cucker等人的论文。 当使用类似的方法时，我们所需要做的就是证明多时间图灵机的VC尺寸不能太大。有没有人看到任何尝试进行后一步的尝试？ $\subseteq$

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注 [加入2017年7月10日]：在去随机化的情况下，一类的VC维 的功能被定义为最大数为其中有功能在这样对于每一个有一个点与 当且仅当。即，我们不是通过函数破坏点集，而是通过点破坏函数集。（VC结果的两个最终定义是相关的，但呈指数关系。）$F$$f:X\to Y$$v$$f_1,\ldots,f_v$$F$$S\subseteq\{1,\ldots,v\}$$(x,y)\in X\times Y$$f_i(x)=y$$i\in S$

的结果（称为在概率一致收敛），那么意味着以下情况：如果对于每个输入，一个随机挑选函数（下的一些概率分布$x\in X$$\mathbf{f}\in F$$F$）满足 对于常数，则可以对X中的所有输入进行计算，某些（固定）函数。参见例如Haussler论文中的推论2。[为此，上存在一些适度的可测量性条件。] $\mathrm{Prob}\{\mathbf{f}(x)=f(x)\}\geq 1/2+c$$c>0$$f(x)$$x\in X$$m=O(v)$$F$$F$

例如，如果是所有多项式的集合通过大小为的算术电路计算，则所有多项式$F$$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$\leq s$$F$具有至多度。通过使用多项式零模式数的已知上限（例如，参见本文），可以证明的VC维为。这意味着算术电路包含BPP / poly P / poly。$D=2^s$$F$$O(n\log D)=O(ns)$$\subseteq$

不知道这有多少答案，我只是沉迷于思考。

可以同样地向问题1询问P NP的问题，并给出类似的答案-用来证明结果的技术/想法比结论本身更为重大。$\neq$

对于问题2，我想分享一些背景知识和想法。据我所知，我们对BPP = P拥有的几乎所有技术和思想都是通过“去随机化”进行的：给定任何概率的多时图灵机，构造一个PRG来为它提供一堆确定性选择的位，而不是随机的，因此其行为与它在真正随机位上的行为非常相似。因此，有了足够好的伪随机生成器，我们得到BPP = P。（Goldreich的“ BPP = P世界”提供了证据，证明BPP = P的任何证明都必须与此等同。）

这是沿着BPP的线条几乎$\subseteq$ P /聚，除了那里，PRG是由魔法产生的建议字符串。对您的问题2的最佳答案也许是，在P中，我们没有魔力，必须自己提出建议字符串。使用诸如扩展器图之类的工具，去随机化也是2004年结果SL = L背后的想法。

现在考虑一下这样的证明仅对一种特定算法即Miller-Rabin素数测试意味着什么。这将表明存在一些确定性生成器，该生成器将选择一个整数序列以馈送给Miller-Rabin素数检验，这样，当且仅当所有整数均通过时，原始数才是素数。

据我了解（尽管我不是专家），关于这样一个列表是否存在以及列表中的数字有多小的问题（特别是如果它足以检查所有低于某个界限的数字）似乎是一个很深的问题。数论，并且与广义黎曼假设的证明形式密切相关。看到这个问题。我不认为这有正式含义，但是作为更一般的PRG构造的偶然微型推论，我们似乎不太希望在下周获得这种收益。