边长为k的3D网格（网格或网格）的路径宽度是多少？

几周前我在mathoverflow上问了这个问题，但没有得到答复。

在这里，通过边长为的3D网格，我的意思是图其中且 $k$ $G=(V,E)$ $V= \{1,\ldots,k\}^3$ ，即，将节点放置在1和之间的3维整数坐标处，并且一个节点连接到最多6个其他节点，这些节点的一个坐标精确地相差一个。 $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ $k$

该图的名称是什么？我将使用3D网格，但也许其他人习惯使用3D网格或3D网格。

此图的树宽或路径宽是多少？这已经在某处发表了吗？

我已知道，，即它是真的小于。对我来说，这表明显示 2D网格具有树宽和路径宽度的标准参数将不容易推广。 $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$ $k^2$ $k\times k$ $k$

为了看到这一点，我们考虑一种路径分解，该路径分解主要使用形式为节点集来“扫描”网格。观察，是最大的这样的集合。和之间的集 $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$ $|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$ $S_{3/2 k}$ $S_c$ 通过用一条线扫掠来创建，并且需要额外的节点作为分隔符。更准确地，使用套 $S_{c+1}$ $O(k)$ $S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$ 作为的路径分解。 $G$

我也有一个证明的证明，但是还没有完成。 $tw(G) = \Omega(k^2)$

— 里科·雅各布
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为

。我想念什么吗？

| S_{c} | = Ω (k^{2})

$|S_c| = \Omega(k^2)$

c = ⌊ k / 2 ⌋

$c=\lfloor k/2 \rfloor$

— Sariel Har-Peled

当然。但是，

仅用于上限。我真正关心的是一个下限。

S_{c}

$S_c$

— ·雅各布

您可能对本文感兴趣：springerlink.com/content/3nmjlc1g5emx9vpk。如果可以计算对图的“队列号”，那么你将得到一个下界其在路径宽度使用定理1其中指出，

对任意一个图

。

q n (G) \leq p w (G)

$\mathsf{qn}(G) \leq \mathsf{pw}(G)$

G

$G$

— Mathieu Chapelle

哦。我知道了。你的意思

。

(3 / 4) k^{2}

$(3/4)k^2$

— Sariel Har-Peled

@Sariel：我编辑了问题以避免同样的困惑。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

Answers:

的路径宽度可以确定为某些已知结果的推论。杰拉德[2]表明，带宽是 $P^3_k$ $P^3_k$ 。Harper [3]给出了一个条件，如果图满足该条件，则其路径宽度和带宽是相同的。Moghadam [4,5]和Bollobás和Leader [1]独立地表明，任何多维网格都可以满足Harper的条件。这些结果意味着，的pathwidth也 $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$ $P^3_k$ 。 $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

在贤智提到的论文中，我们将FitzGerald的结果概括为Yoshio解释。我相信的树宽是未知的。 $P^3_k$

仅供参考：我刚刚将论文的英文版提交给arXiv。

B.Bollobás和I.压缩和等距不等式的负责人，J。Combin。理论系列 A 56（1991）47-62。
CH FitzGerald，图形顶点的最佳索引，数学。比较 28（1974），825-831。
LH Harper，图上的最佳编号和等距问题，J。Combin。理论1（1966）385-393。
$n$
$n$

— 太田洋太
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感谢您慷慨地分享您的新结果（包括论文！）另外，欢迎来到TCS SE :)

— 张显之张显之2011年

@ Hsien-Chih：您让我决定分享我们的结果:-)谢谢。实际上，对于arXiv我也是新手。

— 大田由太（Yota Otachi）

3D网格的路径宽度已由Ryohei Suda，Yota Otachi和Koichi Yamazaki在3维网格的路径宽度IEICE Tech中进行了研究。报告，2009年。

论文摘要声称

在本文中，我们通过确定3维网格的顶点边界宽度来给出其闭合形式的路径宽度。

但是，摘要中未说明确切的界限，目前我无法访问全文。如果作者愿意分享结果，也许您可以私下联系作者，并亲自发布该问题的答案。

— 张显之张显之
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请注意，本文以日语撰写。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@Tsuyoshi：是的，我们可能需要您的帮助：）

— 张显之张显之2011年

P_{ℓ} \times P_{m} \times P_{n}

$P_{\ell}\times P_{m}\times P_{n}$

ℓ m

$\ell m$

ℓ + m \leq n + 2

$\ell + m \leq n + 2$

ℓ m - ⌈ (\frac{ℓ + m - n - 1}{2})^{2} ⌉

$\ell m - \lceil (\frac{\ell+m-n-1}{2})^2 \rceil$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

ℓ \leq m \leq n

$\ell \leq m \leq n$

p w (P_{k}^{3}) = \frac{3}{4} k^{2} + O (k)

$\mathsf{pw}(P^3_k) = \frac{3}{4}k^2 + O(k)$

谢谢。看起来我不必为自己找不到参考而感到难过。我对这些细节感到好奇。

— ·雅各布