最著名的渐近PCP尺寸/ 3-SAT

概率可检验证明的大小最著名的渐近上限是多少？理想情况下，我正在寻找有关此广泛问题的当代调查，但如果没有，我对3-SAT的逼近度特别感兴趣。

令7/8 +ε-3-SAT为3-SAT，并承诺如果子句的7/8 +ε分数是可满足的，则实例是可满足的。用子句将3-SAT简化为7/8 +ε-3-SAT 的最著名的方法是什么？例如，使用子句是否有减少？（子句是一个未解决的问题。）减小均匀拟线性尺寸NC？对的依赖关系是什么，包括？（1-ε）-3-SAT 是否有已知的线性大小（取决于）减小到7/8 +ε-3-SAT，如果没有，我们对于（1-ε）-3有更好的界线吗-SAT？即使是部分答案也会很有趣。 $n$ $O(n \log n)$ $O(n)$ $ε$ $ε→0$ $ε$

同样，虽然这可能会使问题变得过于笼统，但我应该指出，这里的另一个重要问题是恒定因素，由于长代码之类的技术通常不可行，因此这些因素通常不可行。

— Dmytro Taranovsky
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Dana Moshkovitz和Ran Raz提出的最新PCP产生 3-SAT（甚至对于亚常数）的减少量也是如此。长度为。但是，我不知道是否有人尝试计算长度对的确切依赖关系，或减少量的计算复杂性。他们的主要技术成果后来被Irit Dinur和Prahladh Harsha简化。 $(\frac{7}{8}+\varepsilon)$ $\varepsilon$ $n^{1 + o(1)}$ $\varepsilon$

如果您对具有恒定查询数量的短PCP感兴趣，而这些查询不一定能提供最佳的近似硬度降低（又称为“高误差PCP”），那么最新的结果是长度为 PCP由于Eli Ben-Sasson和Madhu Sudan以及Dinur对它的改进。同样，我不知道是否有人计算出减少量的确切复杂度。 $n\cdot \mathrm{poly}\log n$

— 或梅尔
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谢谢; 这两个部分都很有帮助。我收集到具有O（1）查询的准线性大小PCP，并且恒定错误仍然是一个未解决的问题。

— Dmytro Taranovsky '18

不，这实际上是本·萨森和苏丹的工作得出的。获得具有次恒定错误的此类PCP是一个开放的问题。

— 或Meir

我看了更多，Dinur 2007扩展了您在第二段中引用的论文，以显示SAT∈PCP。如果我理解正确的话，这意味着将3-SAT减小到某种准线性大小 -SAT，但是您在第一段中引用的结果是非冗余的，因为它为我们提供了7/8甚至更多。

S A T \in P C P_{\frac{1}{2}, 1} [\log_{2} n + O (\log \log n), O (1)]

$SAT ∈ PCP_{\frac{1}{2},1}[\log_2 n + O(\log \log n), O(1)]$

1 - ε

$1-ε$

7 / 8 + ε

$7/8+ε$

— Dmytro Taranovsky，

对，那是正确的。我忘了提到Dinur的结果，我将其添加到答案中。

— 或Meir