测量CNF公式的随机性

众所周知，CNF公式可以大致分为两大类：随机与结构化。与随机CNF公式相反，结构化CNF公式表现出某种顺序，显示出不太可能偶然发生的模式。但是，可能会发现结构化公式显示出一定程度的随机性（即某些特定的子句组比其他子句结构化程度低），以及具有某些结构形式较弱的随机公式（即某些子句的特定组似乎比其他子句的随机性差） ）。因此，公式的随机性似乎不仅仅是一个是/不是事实。

令是一个函数，在给定CNF公式，返回一个介于和之间（含和的实数值：表示纯结构化公式，而表示纯随机公式。˚F ∈ ˚F 0 1 0 $r: \mathcal{F} \rightarrow [0,1]$$F \in \mathcal{F}$$0$$1$$0$$1$

我不知道是否有人曾经试图发明这样的。当然，返回的值（至少是我的意图）只是根据一些合理标准的实际测量，而不是扎实的理论真理。$r$$r$

我也很想知道是否有人定义和研究了可用于定义或确定公式的其他有用整体属性的统计指标。通过统计指标，我的意思是这样的：$r$

1. HCV（命中计数方差）
   
   令是一个函数，给定变量，该返回在出现的次数。令为使用的变量集。令为AHC（平均点击计数）。HCV定义如下： v Ĵ ∈ Ñ v Ĵ ˚F V ˚F ˉ ħ ˚F = $h_F: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$v_j \in \mathbb{N}$$v_j$$F$$V$$F$ħVC ^=$\bar{h}_F = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{h_F(v_j)}$
   
   $HVC = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(h_F(v_j) - \bar{h}_F)^2}$
   
   在随机情况下，HCV非常低（所有变量被提及的次数几乎相同），而在结构化情况下则不是（某些变量被非常频繁地使用，而另一些则不被使用，即存在“使用情况”） ）。
   
   
2. AID（平均杂质度）
   
   令为发生正的次数，让发生负的次数。令是一个函数，在给定变量，返回其ID（杂质度）。函数定义如下：。那些出现在正数一半的时间和一半出现负数的变量具有最大杂质度，而那些总是正数或负数（即纯文字）出现的变量具有最小杂质度。AID的定义如下： $h_F^{+}(v_j)$$v_j$$h_F^{-}(v_j)$$i: \mathbb{N} \rightarrow [0,1]$$v_j \in V$$i(v_j)$ AID=$i(v_j) = 2 \cdot \frac{min(h_F^{+}(v_j), h_F^{-}(v_j))}{h_F(v_j)}$
   
   0.51$AID = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{i(v_j)}$
   
   在随机实例中（至少在那些概率变量取反的情况下），AID几乎等于，但在结构化实例中，通常距离很远。$0.5$$1$$1$
   
   
3. IDV（杂质度方差）
   
   IDV是比单独的AID更可靠的指标，因为它考虑了通过否定变量而不是生成的随机实例。它定义为： 在随机情况下，IDV为（因为每个变量都取反）具有相同的概率），而在结构化实例中，它离远。 I D V = $0.5$
   
   0$IDV = \frac{1}{|V|} \sum_{v_j \in V}{(i(v_j) - AID)^2}$
   
   $0$$0$

动机

1. 为了更好地了解CNF公式如何工作，如何测量其随机性/结构，是否可以通过查看其统计指标来推断其他有用的总体属性，是否以及如何使用此类指标来加快搜索速度。
2. 想知道是否可以通过巧妙地操纵其统计指标来推断CNF公式的可满足性（甚至解决方案的数量）。

问题

1. 有没有人提出过一种测量CNF公式随机性的方法？
2. 有没有人提出过任何可用于研究甚至机械推断CNF公式的有用总体属性的统计指标？

我建议借鉴物理学的直觉，即“较少随机”的结构更对称。CNF的对称性是变量的任何变换，使函数保持不变。根据该标准，3个变量的函数例如

$\displaystyle x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3} .$

或者说

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee \neg x_{3}).$

比说的不那么随机

$\displaystyle(x_{1} \vee x_{2} \vee \neg x_{3}) \wedge (x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) \wedge (\neg x_{1} \vee \neg x_{2} \vee x_{3}) .$

通常，在有限结构上定义“随机”的概念具有挑战性。从历史上看，它是在二进制序列上尝试过的，二进制序列可以说是最简单的有限结构。例如，从直觉上讲，序列01010101比“ 01001110”具有“更少的随机性”。但是，人们很快意识到，对于有限的随机序列，并没有统一的形式定义！因此，人们必须对为任何有限结构定义随机性度量的任何幼稚尝试表示怀疑。