Median-SAT的复杂性是什么？

令为具有变量和子句的CNF公式。让表示变量赋值和计数通过可变分配到满足子句的数目。然后定义平均-SAT为计算的中值的问题在所有 $\varphi$ $n$ $m$ $t \in \{ 0,1 \}^n$ $f_{\varphi}(t) \in \{ 0, \ldots , m \}$ $\varphi$ $f_{\varphi}(t)$ 。例如，如果是重言式，那么Median-SAT的解将是因为不管分配如何，每个子句都将得到满足。然而，在的情况下溶液至中值-SAT可能会之间的任何位置和。 $t \in \{ 0,1 \}^n$ $\varphi$ $m$ $\overline{SAT}$ $0$ $m-1$

当我在思考SAT的两个自然扩展，MAX-SAT和#SAT时，就产生了这个问题，如果将它们放在一起，将会产生什么困难？对于MAX-SAT，我们必须找到特定的变量分配以最大化满足的变量数量。对于#SAT，我们必须计算有多少个赋值满足所有子句。此变体主要是作为#SAT（实际上是#WSAT）的扩展而出现的，但保留了MAX-SAT的某些风格，因为我们计算了满意子句的数量，而不是仅仅确定它们是否全部都满足或不满意。不。 $\varphi$ $m$ $\varphi$

这个问题似乎比#SAT或#WSAT困难。对于每个变量，＃SAT决定该赋值是否满足的布尔问题，而Median-SAT根据赋值所满足的子句数确定“ 满足” 程度。 $\varphi$ $\varphi$

我意识到这个问题有些武断。计算每个变量分配所满足的子句的平均数或众数似乎似乎具有相同的质量。可能还有许多其他问题。

是否以不同的名义研究了这个问题？与#SAT相比有多难？对于我来说，尚不清楚FPSPACE中甚至包含Median-SAT，尽管它似乎确实包含在FEXPTIME中。

cc.complexity-theory sat counting-complexity

— 哈克·贝内特
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这是一个在

：对于每个

我们可以计算分配满足数目至少

使用#P预言条款。

F P^{# P} \subseteq F P S P A C E

$FP^{\#P}\subseteq FPSPACE$

k \leq m

$k\leq m$

k

$k$

— Colin McQuillan

@Colin可以回答这个问题吗？

— Suresh Venkat

是的，这将是一个很好的答案。你能否详细说明如何查询#P神谕，以检查是否

的条款感到满意？我不知道如何有效地做到这一点。

k \leq m

$k \leq m$

— 哈克贝内特

@Tsuyoshi，您对SAT的定义是什么？我们允许重复条款吗？或给定子句中的文字和/或变量？因为如果你不允许文字和/或变量的重复在一个给定的条款，你不能有一个CNF公式是重言式..

— 塔伊丰收费

@Tayfun-我实际上问了这个问题，Tsuyoshi进行了较小的编辑。您对CNF公式中要求重复文字的重言式是正确的。任何SAT变体都会很有趣，在子句中不带var重复的CNF-SAT（在这种情况下不可能重言），或更一般地说，可能是CIRCUIT-SAT。我认为这种选择不会改变问题的味道。

— 哈克·贝内特

$k$ $k$ $k$ $k$

$\#P$ $FP^{\#P} \subseteq FPSPACE$

— 科林·麦奎伦
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你是绝对正确的。这是一个非常干净的论据，我想从#P的定义中可以很明显地看出来。我学到了一些东西。

— 哈克·贝内特

k

$k$

# P

$\#P$

# P

$\#P$

F P^{# P}

$FP^{\#P}$

$\lceil \lg m+1 \rceil$

$M(\varphi)$ $\varphi$ $k$ $\psi_k$ $x$ $x$ $k$ $\varphi$ $\varphi$ $k$ $\psi_k$

$\psi_k$ $\psi_k$ $M(\varphi) \ge k$ $M(\varphi)$ $k=m/2$ $k$ $\lg m+1$ $M(\varphi)$ 。每次迭代都需要向我们的oracle查询一个MAJSAT。

— DW
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