计算顶点覆盖数：什么时候困难？

考虑计算给定图的顶点覆盖数的＃P-完全问题。$G = (V, E)$

我想知道是否有任何结果显示此问题的硬度如何随某些参数变化（例如d = | E $G$）。$d = \frac{|E|}{|V|}$

我的感觉是，当稀疏时和G密集时，这个问题都应该更容易解决，而当G在“中间” 时，这个问题就很难解决。真的是这样吗？$G$$G$$G$

计算给定图的顶点覆盖数的#VC问题对于3规则图仍然为＃P-hard；参见例如[Greenhill，2000]。

为了显示#VC问题仍然＃P-很难用图表至多$c\cdot n$边缘，其中$n$是顶点的数目和$0<c<3/2$，通过将一个足够大的从3正规情况下减少独立设置（线性大小）。如果添加独立集合，则顶点覆盖的数量保持不变。

类似地，为了表明#VC问题仍然＃P-硬用于与至少图表$c\cdot n^2$的边缘，其中$n$是顶点的数目和$0<c<1/2$，通过将一个足够大的距离#VC减少集团成分（线性大小）。顶点覆盖的数量乘以$p+1$，如果您添加大小的团$p$的曲线图。

凯瑟琳·格林希尔（Catherine S.Greenhill）：在稀疏图和超图中计算着色和独立集合的复杂性。计算复杂度9（1）：52-72（2000）

遵循Yaroslav的回答，Luby和Vigoda率先在密度条件下（最大4度，我认为比Weitz的结果弱）显示#IS的FPRAS，而Dyer，Frieze和Jerrum显示没有针对FPRAS的FPRAS。除非RP = NP，否则图形的最大程度为25，则为#IS。

参考文献：

Martin Dyer，Alan Frieze和Mark Jerrum。在稀疏图中对独立集合进行计数。FOCS 1999。

迈克尔·路比（Michael Luby）和埃里克·维哥达（Eric Vigoda）。大约最多四个。1997年STOC。

另请参见Jerrum的ETH讲义，“计数，采样和集成：算法和复杂性”。

$n$$d$$d$$f(d,\epsilon)\cdot n$$\exp(\epsilon n)$$d$$2$-Sat（等效于计算独立集和计算顶点覆盖）。

$n$$\exp(o(n))$

如果集合的补集是一个独立集合，则它是一个顶点覆盖，因此，此问题等同于计算独立集合。

独立集的代数计数是有限有界集团宽度图的FPT。例如，请参阅Courcelle的“多元交错矩阵及其对有界集团宽度图的计算”，其中他们计算独立多项式的一般化。将独立多项式的系数相加得出独立集合的数量。

最高度为3的图可以具有无限的集团宽度。

$d$$\lambda$

_{（来源：yaroslavvb.com）}

$\lambda=1$

$d$$\lambda$$d$