号码划分特殊情况的NP硬度

考虑以下问题，

给定一组正数其中是一个常数，我们要分区的集成大小的子集，使得每个子集的总和的乘积被最大化。 $n = k m$ $\{ a_1, \dots, a_n \}$ $k \ge 3$ $m$ $k$

除了我们对每个分区中的数字数量有限制外，该问题与众所周知的数分区非常相似。对于，可以提出以下简单多项式算法， $m$ $k = 2$

假定数字进行排序，即，。然后，对于分配的子集，为，将其分配给所述子集。 $a_1<a_2<...<a_n$ $i≤m$ $a_i$ $i$ $i>m$ $n−i+1$

不难看出该算法为何起作用。只需选择两个任意垃圾箱即可。数字上的任何交换都不会增加产品的数量。

但是对于较大的，我想知道问题是否可以在多项式时间内解决？如果有人能证明它是np硬度，我也将很感激。 $k$

注意：我在处理无线网络中的调度问题时遇到了问题。我找到了一种很好的启发式算法来解决该问题。但是过了一会儿，我认为这个问题可能在理论上很有趣。

— 氦
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k = 2

$k=2$

@Mohsen，谢谢。我建议您在问题中加入有关动机，背景以及您对k = 2情况的了解。这可能会使其他人更感兴趣。

— 卡夫

我的直觉是，当总和相等或最大成对差最小时，每个子集的和的乘积最大。在此假设下，我们很容易从NP完全的3分区中还原（对于k = 3）。

— Mohammad Al-Turkistany

（我删除了几个小时前发布的两个评论，以便更准确地重写它们。）正如土耳其人所建议的那样，k分区问题可简化为该问题，因此对于每个常数k≥3，此问题都是NP-难的。唯一相关的属性是，当且仅当可以将数字划分为m个集合且每个集合的大小均等于k时，这些和的乘积的最大值才至少为（∑a_i / k）^ m。乘积并不总是使分区的最大成对差异最小化而最大化，但这无关紧要，只要我们考虑确切的问题即可。（更多）

— 伊藤刚

（续）如果您要求输入是集合而不是多集，则这种减少仍然有效，因为即使有集合，k分区问题仍然是NP完全的，但是要小心，因为NP完全性的标准证明只有在允许输入多次包含相同整数的情况下，三分区问题的结果才有效。请参阅具有不同数字的3分区问题的计算复杂性（警告：自我推广）。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

（这是我对此问题的评论的更详细的版本。）

作为turkistany在关于这个问题的意见建议，这个问题是NP难每隔一定ķ ≥3从减少ķ -partition问题。约简完全不会改变实例：仅需注意，当且仅当数可以被划分为m个集合，每个集合的大小为k，且总和为，该和的乘积的最大值至少为（∑ a _i / k）^m。都平等。

请注意，通常将k分区问题的输入定义为km数，该km数可能并不完全相同，这在其NP完备性的标准证明中是必不可少的（例如Garey和Johnson中的一个）。因此，上述简化仅证明了当前问题的轻微概括的NP硬度，其中允许输入为多集而不是集。但是，可以填补这一空白，因为即使要求输入中的数字都是唯一的，k分区问题仍然是NP完全的。有关k = 3 的情况，请参见[HWW08] （另请参见Serge Gaspers的答案（另一个问题），可以很容易地将其修改为较大的k值。

此外，即使输入中的数字以一元形式给出，此处说明的所有内容仍保持NP完整/ NP硬性。

[HWW08] Heather Hulett，Todd G. Will，Gerhard J. Woeginger。度序列的多图实现：最大化容易，最小化困难。 操作研究快报，36（5）：594-596，2008年九月 http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004

— 伊藤刚
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