构造度量空间的不动点定理？

Banach的不动点定理说，如果我们有一个非空的完整度量空间，那么任何统一压缩函数都具有唯一的不动点。然而，这个定理的证明需要选择公理-我们需要选择任意元素一个∈ 一开始迭代˚F从，得到柯西序列一，˚F （一），˚F 2（一），˚F 3（a ），…。 $A$$f : A \to A$$\mu(f)$$a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

1. 构造分析中不动点定理如何表达？
2. 另外，是否有对构造度量空间的简要引用？

我问的原因是我要构建系统F的模型，其中类型还带有度量结构（除其他外）。在构造性集合理论中，我们可以构造集合的族非常有用$U$，这样使得$U$在产品，指数和$U$索引族下是封闭的，这使得给出系统F的模型变得容易。

如果我能做一个类似的构造性超测空间，那将是非常好的。但是，由于在构造性集合论中增加了选择使其成为经典，显然，我需要对定点定理以及其他一些东西更加谨慎。

当存在“事物” 的集合并且您为每个“事物”选择一个元素时，将使用选择公理。如果集合中只有一件事，那不是选择的公理。在我们的情况下，我们只有一个度量空间，我们正在“选择”其中的一个点。所以这不是选择，而是消除存在量词，即公理，我们有一个假设和我们说“让X ∈ 一个是这样的：φ （X ） ”。不幸的是，人们经常说“$\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$ “，那么它看起来就像选择公理的应用。$\phi(x)$

作为参考，这是Banach不动点定理的建设性证明。

定理：在一个完整的度量空间上的收缩具有唯一的不动点。

证明。假设是一个居住的完整度量空间，而f ：M → M是一个收缩。因为˚F是收缩存在α，使得0 < α < 1和d （˚F （X ），˚F （ÿ ））≤ α ＆CenterDot;＆d （X ，ÿ ）对所有X ，ÿ ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$。

假设和v是f的不动点。然后我们ð （Û ，v ）= d （˚F （Û ），˚F （v ））≤ α d （Û ，v ）从其中它遵循0 ≤ d （Û ，v ）≤ （α - 1 ）d （u ，v ）$u$$v$$f$

$$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$$ ，因此 d （u ，v ）= 0且 u = v。这证明 f最多具有一个固定点。$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$$d(u,v) = 0$$u = v$$f$

有待证明不动点的存在。因为有人居住存在X 0 ∈ 中号。定义序列（X 我）通过递归X 我+ 1 = ˚F （X 我）。我们可以通过感应该证明d （X 我，X 我+ 1）≤ α 我 ⋅ d （X 0，X 1）。由此可见，$M$$x_0 \in M$$(x_i)$

$$x_{i+1} = f(x_i).$$ $d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$是柯西序列。因为 M是完整的，所以序列的极限为 y = lim i x i。由于 f是一个收缩，因此它是一致连续的，因此它会受限于序列的限制： f （y ）= f （lim i x i）= lim i f （x i）= lim i x i + 1 = lim i x $(x_i)$$M$$y = \lim_i x_i$$f$ 因此 y是 f的固定点。QED $$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$$ $y$$f$

备注：

1. 我非常小心，不要说“选择 ”和“选择x 0 ”。说这样的话很常见，它们只会增加混乱，使普通的数学家无法分辨选择的公理是什么。$\alpha$$x_0$

2. 在证明的唯一性部分中，人们经常不必要地假设存在两个不同的固定点并得出矛盾。这样，他们只设法证明，如果和v是固定的点˚F然后¬ ¬ （û = v ）。因此，现在他们需要排除中点才能得出u = v。即使对于古典数学，这也不是最理想的选择，只是表明证明的作者没有良好的逻辑卫生。$u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. $(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. $M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. $\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. 最后，以下定点定理具有构造性版本：

   • 完全格上单调映射的Knaster-Tarski不动点定理
   • 完整度量空间上Banach的不动点定理
   • dcpos上单调映射的Knaster-Tarski不动点定理（由Pataraia证明）
   • 领域理论中的各种不动点定理通常具有构造性证明
   • 递归定理是定点定理的一种形式，它具有构造性证明
   • 我证明了在链完全摆式上单调映射的Knaster-Tarski不动点定理没有建设性的证明。同样，链完整摆姿上渐进映射的Bourbaki-Witt不动点定理也建设性地失败了。后一个实例的反例来自有效topos：在有效topos序数（适当定义）中形成一个集合，后继图是渐进的，没有固定点。顺便说一下，在有效主题中，序数上的后继图不是单调的。

现在，这比您要求的信息更多。