P中的平面NAE k-SAT是哪个k？

给定布尔布尔变量X的集合X的子句集C，使得每个子句最多包含k个文字，则非均等 -SAT问题（NAE k -SAT）询问是否存在变量的真值分配，从而每个子句包含至少一个true和至少一个false文字。$k$$k$$C$$X$$k$

平面NAE -SAT问题是NAE的限制ķ -SAT到的那些情况下的发病率二分图Ç和X（即部件的曲线图Ç和X与之间的边缘X ∈ X和Ç ∈ Ç当且仅如果X或¯ X属于ç）是平面的。$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

众所周知，NAE 3-SAT是NP完全的（Garey和Johnson，计算机与难处理性； NP完全性理论指南），但是PLANAR NAE 3-SAT在P中（请参阅P，B中的NAE3SAT平面）。 。Moret，ACM SIGACT新闻，第19卷，第2期，1988年夏季 -不幸的是，我没有访问该文件）。

是平面NAE P中-SAT一些ķ ≥ 4？是否有一个k的值被证明是NP完全的？$k$$k\geq 4$$k$

对于所有k值，PLANE NAE -SAT在P中。$k$$k$

原因是我们可以将PLANAR NAE -SAT 减少到PLANAR NAE 3 -SAT。让φ是平面NAE的实例ķ -SAT，并假设φ载有一项条款ç与文字ℓ 1，ℓ 2，... ，ℓ ķ。引入新的变量v Ç，并更换Ç具有两个NAE子句Ç 1和Ç 2。Ç 1包含3个文字ℓ 1，ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$和，而c ^ 2包含ķ - 1个文字ˉ v Ç，ℓ 3，ℓ 4，... ，ℓ ķ。人们很容易看到，ç是可满足的当且仅当c ^ 1 ∧ c ^ 2是和改造蜜饯平面。现在，我们可以反复的条款适用此过程最终获得一个实例φ ' NAE的3所希望-SAT。$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$