最大化总边缘权重

我想知道以下问题是否有名称，或与之相关的任何结果。

令是权重图，其中表示和之间的边缘权重，并且对于所有，。问题是找到一个顶点子集，该子集最大化与它们相邻的边的权重之和：注意，我要计算子集内和子集外的边，这是将此问题与max-cut区别开的原因。但是，即使和都在，我也只想计算边 $G = (V,w)$ $w(u,v)$ $u$ $v$ $u,v \in V$ $w(u,v) \in [-1,1]$

max_{S \subseteq V} \sum_{(u, v) : u \in S or v \in S} w (u, v)

$\max_{S \subseteq V} \sum_{(u,v) : u \in S\ \textrm{or}\ v\in S} w(u,v)$

u

$u$

v

$v$

S

$S$

(u, v)

$(u,v)$ 一次（而不是两次），这就是将目标与仅是度之和区别开来的原因。

请注意，如果所有边缘权重均为非负数，那么问题就微不足道了-只需拿整张图！

— 亚伦·罗斯
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关于不计算重复边的定义稍后将与您的注释不符。您是对有序对或2元素子集求和吗？（我认为后者会为您提供所需的财产）

— Suresh Venkat

另一个注意事项：唯一不计算边缘重量的是V \ S内部的重量。您是否对硬度结果或近似值感兴趣，因为在前一种情况下，将S'= V \ S内部的边缘重量的总和最小化可能是更自然的问题。。

— Suresh Venkat

@Suresh：问题中的形式定义是正确的，只要考虑到近似比率即可。它只是给出了一个单词期望值的两倍。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

@TsuyoshiIto：哦，我知道了，因为切割的边缘也被计算了两次。

— Suresh Venkat

确切的问题是NP困难的，因为正如Suresh在他的评论中所写，该问题等效于无限制的{0,1}二次编程，这是NP困难的。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）

Answers:

不是真正的解决方案，而是一些观察。

这是以下问题的特例：给定Universe和集合的集合以及权重函数，找到集合，以使最大化（集合的权重是其元素的总权重）。您的问题与每个元素恰好出现在两个集合中的情况相对应（但我不确定如何利用此限制，尽管可能会有所帮助）。 $U = \{1, \ldots, m\}$ $S_1, \ldots, S_n \subseteq U$ $w:U \rightarrow [-1, 1]$ $I \subseteq [n]$ $w(\bigcup_{i \in I}{S_i})$ $U$

这是一个覆盖问题：与Max-k-Set-Cover相似，但不限制使用组并允许负权重。Max-k-Set-Cover的贪婪近似（在每个步骤输出到目前为止，未覆盖元素的权重最大的集合）会输出一系列的集合，以使前集合近似于最佳（因此这是对所有的同时近似）。不幸的是，像往常一样，当权重可能为负时，对其进行分析存在问题。贪婪算法的分析的基本观察是，如果是所述第一组被输出，那么（ $k$ $k$ $1 + 1/e$ $k$ $S_1$ $w(S_1) \geq OPT_k/k$ $OPT_k$ 是集合所覆盖的最大权重），因为小于最优解中集合的权重之和，并且每个集合的权重都小于。但是，对于负权重，小于最佳解决方案中的权重之和不再是正确的。通常，联合约束不再成立。 $k$ $OPT_k$ $k$ $w(S_1)$ $OPT_k$

— 萨肖·尼科洛夫（Sasho Nikolov）
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FWIW，对于任何，您的问题很难在的乘法因子内近似。 $n^{1-\epsilon}$ $\epsilon>0$

我们通过给出独立硬度的近似保持约简来表明这一点，已知近似硬度。

减少独立集

令无向图为独立集的实例。令表示顶点在的度数。令为的顶点数。 $G=(V,E)$ $d_v$ $v$ $G$ $n$ $G$

从构造边缘加权图如下。赋予每个边的权重1。对于每个非孤立顶点，将新边（每个权重为）添加到新顶点。对于每个孤立的顶点，将权重1的一个新边添加到新顶点。 $G'=(V',E')$ $G$ $E$ $v\in V$ $d_v-1$ $-1$ $d_v-1$ $v\in V$

（注意：每个新顶点（在但不在）只有一个邻居，即。） $G'$ $G$ $G$

引理。 有一个独立的大小为集合，如果 （作为您的问题的一个实例）的值的解至少为。 $G$ $k$ $G'$ $k$

证明。 令为任何独立集合。然后，由于在顶点是独立的的值在（由物镜）是 $S$ $G$ $S$ $G'$ $S$ $G'$

\sum_{v \in S} d_{v} - (d_{v} - 1) = | S | .

$\sum_{v\in S} d_v - (d_v-1) ~=~ |S|.$

相反，令为至少为。在不失一般性的前提下，假设包含新顶点。（每一个新的顶点是在一个单一边缘。如果是没有分离，则边的权重是，所以去除从增加的值。如果被隔离，则边缘的权重为1，因此从移除并添加保持的值。） $S$ $G'$ $k$ $S$ $v'$ $(v',v)$ $v$ $G$ $-1$ $v'$ $S$ $S$ $v$ $v'$ $S$ $v$ $S$

不失一般性，假定是一个独立集合。（否则，令为边，使得和在中在入射边的总权重为，因此的总权重的以外的其他入射边缘最多为零。因此，从移除不会增加的值。） $S$ $G$ $(u,v)$ $u$ $v$ $S$ $v$ $G'$ $d_v - (d_v-1) = 1$ $v$ $(u,v)$ $v$ $S$ $S$

现在，通过与证明开始时相同的计算，值为。因此，。优质教育 $S$ $|S|$ $|S| \ge k$

顺便说一句，您可能会要求加一个近似值，例如或。 $O(n)$ $\epsilon m$

在我看来，就您的问题而言，甚至确定是否存在正值解决方案也可能是NP难题。

— 尼尔·杨（Neal Young）
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