图类的识别硬度与禁止子图特征之间的关系

我正在考虑可以通过禁止子图来表征的图类。

如果一个图类具有一组有限的禁止子图，则有一个简单的多项式时间识别算法（一个人只能使用蛮力）。但是，一个无限的禁止子图族并不意味着硬度：有些类具有无限的禁止子图列表，因此识别也可以在多项式时间内进行测试。和弦图和完美图是示例，但在那些情况下，禁止家庭上存在“不错”的结构。

在承认阶级的坚硬与被禁家庭的“不良行为”之间是否存在任何已知的关系？这样的关系应该存在吗？这种“不良行为”已经在某个地方正式化了？

虽然看起来直观的是禁止（感应）子图的一类名单图形具有NP难识别应该具备一些“内在”的复杂性，我最近发现了一些惊人的负面证据，这种直觉文献。$\mathscr{C}$

也许最简单的描述是以下内容，摘自B.Lévêque，D。Lin，F。Maffray和N. Trotignon的文章。

令为图族，它由长度至少为四个的周期加上三个顶点组成：两个顶点与周期的同一顶点u相邻，一个顶点与周期的顶点v相邻，其中u和v为在周期中不连续（也没有其他边沿）。$F$$u$$v$$u$$v$

现在让为图族，它们的构成完全相同，不同之处在于您添加了四个顶点：两个顶点与循环的相同顶点u相邻（如前），但是现在两个顶点与循环的相同顶点v相邻。循环，其中u和v也不连续。$F'$$u$$v$$u$$v$

那么，以作为禁止诱导子图的图的类别具有多项式时间识别，而以F ′作为禁止诱导子图的图的识别为NP-hard。$F$$F'$

因此，考虑到这样的条件将必须区分“非常相似”的条件，我发现很难想到一个禁忌的诱导子图列表在导致具有（NP-）硬识别的类时必须满足的任何一般条件。和F '以上。$F$$F'$

@Hugo的回答确实很好，在这里我想补充一些个人意见。

相关族与家庭F和F'中的图相似。本文中B1族中的图通常称为金字塔。B2族中的图通常称为棱镜。请参阅此处的答案以获取插图。在诱发子图检测问题的文献中，它们用于检测偶数/奇数孔，这是具有偶数/奇数长度的无弦循环。根据著名的强完美图定理，如果G和G的补数都不包含奇孔，则图G是完美的。

实际上，对于金字塔和棱柱族来说，它们之间是有区别的-一个包含三片叶子的诱导子树，而另一棵则没有。这就是所谓的“三棵树”问题，楚德诺夫斯基和西摩已经对此进行了研究。令人惊讶的是，确定是否存在包含三个给定节点的诱导树是易处理的，而“四心树”问题是NP-难的。（中心树是最多有一个节点的度大于2的树。）F和F'之间的差异似乎是由相同的原因引起的。

但是似乎很难完全表征，因为我们甚至不知道在看起来足够简单的某些族中检测图的复杂性，例如无奇数图（！）。对于我们确实知道的存在多项式时间算法的族，例如完美图和无孔图，尽管有通用的策略（基于分解）来设计算法，但必须为算法提供特定的结构定理。他们。这通常是一个取决于家庭的过程，并且大多数时候证明很长。（这是无孔图表的示例，其中纸张超过90页。）

从某种意义上说，对于三叉树问题，对诱导子图检测问题进行一些分类还是很有趣的。