直接SAT转换为3-SAT

此处的目标是使用最少数量的子句和变量，在多项式时间内将任意SAT问题简化为3-SAT。我的问题是出于好奇。不那么正式，我想知道：“从SAT到3-SAT的'最自然的'减少是什么？”

现在，我在教科书中经常看到的减少是这样的：

1. 首先以您的SAT实例为例，并应用Cook-Levin定理将其简化为电路SAT。

2. 然后，通过将子句替换为gates，通过将SAT电路标准缩减为3-SAT来完成工作。

在这种情况下，由于库克-莱文定理的最初应用，最终产生的3-SAT子句最终看起来几乎与您最初使用的SAT子句不同。

有人可以跳过中间电路步骤，直接进入3-SAT，再看看如何直接进行简化吗？我对直接减少n-SAT的特殊情况感到满意。

（我猜想在计算时间和输出大小之间会有一些折衷。显然，简并的解决方案是只解决SAT问题，然后发出琐碎的3，尽管幸运的是，除非P = NP，否则它是不可接受的。 -SAT实例...）

编辑：基于棘轮的答案，现在很明显，将n-SAT的减少是微不足道的（在发布之前，我真的应该以为再仔细一点）。如果有人知道更一般情况的答案，我将这个问题保留一小段时间，否则我将只接受棘轮的答案。

每个SAT子句都具有1、2、3或更多的变量。可以复制3变量子句

1和2变量子句{a1}和{a1,a2}可以分别扩展到{a1,a1,a1}和{a1,a2,a1}。

变量超过3个的子句 {a1,a2,a3,a4,a5}可以{a1,a2,s1}{!s1,a3,s2}{!s2,a4,a5}用s1和扩展为s2新变量，其值将取决于原始子句中的哪个变量为true

$n'$$n$

如果您需要将k-SAT降低到3-SAT，那么棘轮的答案就可以了。

如果您想直接从通用命题公式简化为CNF（以及3-SAT），那么-至少从“ SAT求解器角度”来看-我认为您的问题的答案是“最自然的”简化... ？，是：没有“自然”还原！

从（非常好）这本书的第二章“ CNF编码”的结论中得出：满意度手册：

...
在CNF中，通常有很多方法可以对给定问题进行建模，而在其中进行选择的准则很少。通常可以选择问题特征来建模为变量，有些特征可能需要花费相当多的思考才能发现。Tseitin编码是紧凑且可机械化的，但实际上并不总是导致最佳模型，某些子公式可能会得到更好的扩展。出于极性考虑，可能会省略某些子句，并且可能会添加隐含的对称性破损或阻塞子句。不同的编码可能具有不同的优缺点，例如大小或解密度，而对于一个SAT解算器而言，什么是优点可能对另一种求解器而言却是不利的。简而言之，CNF建模是一门艺术，我们必须经常通过直觉和实验来进行。
...

最著名的算法是Tseitin算法（G. Tseitin。关于命题演算的推导复杂性。推理自动化：计算逻辑中的经典论文，2：466–483，1983年。Springer-Verlag。）

有关CNF编码的良好介绍，请阅读建议的手册Handbook o Satisfiability。您还可以阅读一些最新作品并查看参考资料。例如：

• P. Jackson和D. Sheridan。布尔电路的子句形式转换。在HH Hoos和DG Mitchell中，《满意度测试的理论和应用》，第七届国际会议，SAT 2004，LNCS的3542卷，第183-198页。Springer，2004年。（旨在减少子句的数量）
• P. Manolios，D。Vroon，CNF转换的高效电路。在理论与满足性测试中的应用- SAT 2007（2007），页4-9

让我请发布另一个类似于Ratchel的解决方案，但有所不同。这直接取自Steven Skiena撰写的“算法设计手册”第二版第9章

• 如果该子句只有一个文字C = {z1}，则创建两个新变量v1和v2以及四个新的3字母子句：{v1，v2，z1}，{！v1，v2，z1}，{v1，！ v2，z1}和{！v1，！v2，z1}。注意，同时满足这四个子句的唯一方法是z1 = T，这也意味着将满足原始C
• 如果该子句有两个文字，C = {z1，z2}，则创建一个新变量v1和两个新子句：{v1，z1，z2}和{！v1，z1，z2}。同样，满足这两个子句的唯一方法是让z1和z2中的至少一个为真，从而满足C
• 如果该子句具有三个文字，C = {z1，z2，z3}，只需将C复制到3-SAT实例中即可
• 如果该子句具有3个以上的文字C = {z1，z2，...，zn}，则在链中创建n-3个新变量和n-2个新子句，其中2 <= j <= n-2 ，Cij = {v1，j-1，zj + 1，！vi，j}，Ci1 = {z1，z2，！vi，1}和Ci，n-2 = {vi，n-3，zn-1， zn}