奇偶校验带有有限扇出：容易证明吗？

$AC^0$ 是具有NOT门和无限扇入AND和OR门的恒定深度多项式电路的类别，其中输入和门也具有无限扇出。

现在考虑一个新类，将其称为，类似于但其输入和门的扇出最多为。此类显然在。事实上，它是严格包含在，如上所述这里。因此，奇偶校验显然不在。 $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $O(1)$ $AC^0$ $AC^0$ $AC^0_{bf}$

是否有奇偶校验的证明这并不会也经历了？换句话说，是否有证据不使用诸如切换引理或Razborov / Smolensky方法之类的强大技术？ $\notin AC^0_{bf}$ $AC^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

在文献中，这称为：qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo : N#nc0

{N C}^{0}

$\mathsf{NC}^0$

— 张显之张显之2011年

不，它不是，因为Fanin不受限制。

— domotorp 2011年

啊，我看错了扇出这个词。感谢您指出。

— 张显之（张显之）2011年

@Kaveh的相关文章：cstheory.stackexchange.com/q/1824/1800，从下面的评论移开以增加曝光率。

— 张显之张张之之2011年

顺便说一句，什么是“受限扇出”？

— xxx ---

Answers:

我可能会错过一些东西，但是和公式不一样吗？由于每个输入位最多只能对有限数量的门产生影响，因此我们可以简单地假设每个门只有一个输出（可能在复制了几样东西之后），而我们也不能向下推门。我们知道奇偶校验的公式大小为n ^ 2（请参阅Troy J. Lee，“ 奇偶校验的公式大小 ”，2007年），并且由于在电路的每个级别上我们只能具有O（n）个门，因此，这表明奇偶校验不在。 $AC^0_{bf}$ $AC^0_{bf}$

— 多摩普
source

所以用“公式”表示线性尺寸公式，对吗？和按尺寸，您指的是配方尺寸...

— Alessandro Cosentino

我认为您的答案最后是正确的，但推理却比较微妙。可以通过复制部分电路来减少门扇出，但这会增加公式的大小。（公式的大小等于输入线的数量。）假设门扇出最大为2。然后，为了减少底层门的扇出，我需要复制每个门和每个输入，将公式的大小加倍。对每一层重复此过程，将得出公式，其中是电路深度。在我们的情况下，是常数，因此公式大小仍然是线性的。

O (2^{d} n)

$O(2^dn)$

d

$d$

d

$d$

— 亚当·帕兹尼克

这正是我的意思，对不起，如果我的博览会不好。

— domotorp 2011年

@Alessandro：对不起，如果我误解了你的问题。但是我的第一印象是，可以将任何大小为 depth-d 电路转换为大小约为的depth-d 公式（扇出1）：只需从底部开始逐层（在输入旁边））层，并取得同一扇门的多个副本；在每一层，门数最多可以增加倍。这意味着，任何下限为公式意味着下界为电路。因此，很难期望下界证明更容易 $S$ $S^d$ $S$ $S$ $AC^0$ $S^{1/d}$ $AC^0$ $AC^0$ 公式：在的世界中，是一个常数。 $AC^0$ $d$

顺便说一下，您的语言（正好为字符串）具有单项式的琐碎DNF（depth-2 公式）。 $X$ $1$ $n$

— Stasys
source

在我看来，由于扇出是有界的，我们可以做得比好，我们可以得到，其中是最大扇出。而且，由于每个输入位仅被有限次数地使用，因此电路（）的尺寸是线性的。

S^{d}

$S^d$

k^{d} S

$k^dS$

k

$k$

S

$S$

— 卡夫

另一种查看严格包含在是，由于每个输入位的扇出最多为k，因此在第一层中最多有门，而在第二层中则有门。第二层，依此类推。由于深度是恒定的，这意味着该电路总共具有门。因此，任何需要超线性尺寸电路的函数都不在。

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

A C^{0}

$AC^0$

k n

$kn$

k^{2} n

$k^2n$

O (n)

$O(n)$

A C^{0}

$AC^0$

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— 罗宾·科塔里

有人可以告诉我为什么这个“输入变量不超过k个副本”模型很有趣吗？即使深度恒定。在什么情况下会出现这种模型？只是很好奇。

— Stasys

@Stasys，亚当和我的问题都来自量子类工作，该类没有扇出门。

Q A C^{0}

$QAC^0$

— 亚历山德罗·科森蒂诺

@亚当：的确，谢谢domotorp已经提到了一个非参数（赫拉普琴科）。正如cstheory.stackexchange.com/questions/1824/…Robin Kothari所观察到的那样，还有另一个这样的论点，即Krichevskii的论证，表明threshold-2函数需要大小约为公式。更好的是，众所周知，除16个对称布尔函数外，所有函数都需要超线性大小的公式。因此，您的问题肯定会以“是”回答。

A C^{0}

$AC^0$

n \log n

$n\log n$

— Stasys