寻找匹配，其收缩可最大程度地减少图中的圆弧数

给定具有边和弧的混合图，在中找到匹配项以使的弧数最小化，其中是通过收缩匹配的顶点并去除来从获得的平行弧。$G=(V,E,A)$$E$$A$$E$$G/M$$G/M$$G$

这个问题（的决策版本）NP是否完整？有文献研究过吗？

我不知道您的意图是允许E中的无向边与A中的弧平行还是不平行，但最后并不重要。在此答案中，我们假定您不允许边和圆弧平行。

考虑一种特殊情况，其中对于A中的每个弧，A也包含相反方向的弧。在这种情况下，我们可以忽略弧的方向，并认为它们是无向的。我们将边缘称为E 黑色边缘，将边缘称为A 红色边缘。

即使在这两个限制下，通过从Max-2SAT减少也可以解决NP完全问题。令φ是带有m个子句的n个变量的2CNF公式。构造具有三个n个顶点的图G，如下所示。 G有2 n个黑边：和对于i = 1，…，n。 G具有红色边缘。首先，将和连接到$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$$(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$i ≠ j时出现红色边缘。接下来，对于每个不同的变量和，考虑四对文字。当且仅当子句没有出现在φ中时，才用红色边缘连接文字和。$x_i$$x_j$$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

显然，我们只需要考虑黑色边缘的最大匹配，以使收缩后红色边缘的数量最小。同样清楚的是，每个黑色边缘中的最大匹配M都由n个边缘组成，这些边缘将连接到，其中i = 1，…，n。识别这个最大匹配中号与真值赋值。可以很容易地验证出，在收缩M并去除平行边缘之后，该图恰好具有红色边缘，其中k$v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$$4\binom{n}{2}-k$是此真值分配满足的子句数。因此，使匹配的黑色边缘收缩后最小化红色边缘的数量等效于最大化满足子句的数量。