阻碍

是否有任何玩具示例可以提供“必要的”见解来理解问题的三个已知障碍-相对化，自然证明和代数化？$P = NP$

让我举一个相对论障碍的玩具例子。典型的例子是的时间层次定理。证明（通过对角线化）仅比证明停止问题不确定的证明稍微复杂一点：我们定义了一种算法A（x），该算法直接对输入x上的第x个算法A_x逐步进行t（| x |）步骤，然后输出相反的值。然后我们认为A可以实现为在t（| x |）^ 2时间内运行。甲（X ）X 甲X X 吨（| X |）甲吨（| X | ）${\bf TIME}[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}[t(n)^2]$$A(x)$$x$$A_x$$x$$t(|x|)$$A$$t(|x|)^2$

如果我们使所有算法都可以访问任意的Oracle集$O$，则该参数同样有效，我们假设我们可以在计算的一个步骤中要求成员资格查询。只要A也可以访问oracle O，也可以由A进行A_x ^ O的逐步仿真。用记号表示，所有预言O都有{\ bf TIME} ^ O [t（n）] \ subsetneq {\ bf TIME} ^ O [t（n）^ 2]。换句话说，时间层次相对化。$A_x^O$$A$$A$$O$${\bf TIME}^O[t(n)] \subsetneq {\bf TIME}^O[t(n)^2]$$O$

我们可以自然地为非确定性机器定义预言，因此针对预言定义类$P^O$和NP ^ O是有意义的$NP^O$。但是存在相对于P ^ O = NP ^ O和P ^ {O'} \ neq NP ^ {O'}的预言$O$和O'，因此时间层次定理中的这种直接模拟参数不起作用用于解决P对NP问题。相对论的论点之所以强大，是因为它们广泛适用，并带来了许多深刻的见解。但是这种力量使他们在诸如P与NP之类的问题上“虚弱” 。$O'$$P^O = NP^O$$P^{O'} \neq NP^{O'}$$P$$NP$$P$$NP$

上面的例子当然是一个玩具示例，还有许多其他更复杂的参数示例，它们仍在相对复杂化（例如，引入任意预言时保持不变）。